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Full text of "Sur la théorie des équations modulaires et la résolution de l'équation du ..."

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Ma-th2.Z86.i> '^ 



I 



HARVARD COLLEGE LIBRARY 



BOUGHT FROM THE INCOM^ OF THE FUND 

BEQUEATHED BY 

PETER PAUL FRANCIS DEGRAND 



> PERIODICALS ON THE EXACT 
HE ARTS AND TO NAVIGATION 



SCIENCE CENTER LIBRARY 



1 



il 

I 



I 



SUR LA 



THÉORIE DES ÉQUATIONS MODULAIRES 



ET LA 



RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION DU CINQUIÈME DEGRÉ. 



[M - » ^/ 



I 



Paris. — Imprimerie de Mallel-Bachelier, 
rue du Jardinet , ii. 



SUR LA 



THÉORIE DES ÉQUATIONS MODULAIRES 



ET La 



RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION DU CINQUIÈME DEGRÉ, 



Par m. HERMITE. 



PARIS, 

MALLET-BAGHELIER, IMPRIMEUR-LIBRAIRE 

DU BUREAU DBS LONGITUDES, DE l'ÉCOLE IMPÉRIALE POLYTECHNIQUE, 

Quai des Augustins, 5j^. 

1859 



Hctth :LXQe.s<^ 




VENERANDiE MEMORI^ 
EXIMII VJRI AUGUSTINI CAUCHY. 



• HOC QUALECUMQUE MUNUS 

LIBENTER ACCIPIAS, 

ET EX BEATA iETERN^ FELIQTATIS SEDE 

ANIMUM SANCT^ AMlCITIiE PIE MEMOREM 

BENIGNE ASPICERE DIGNERIS. 



TABLE DES MATIÈRES. 



i'aget». 

Dédicace v 

Sur la résolution de Téquation du cinquième degré i 

Sur la résolution de Téquation du quSitrième degré 9 

Sur cfuelques théorèmes d'algèbre et la résolution de Téquation du quatrième 

degré 17 

. Extrait d'une lettre de M. Léopold Kronecker sur la résolution de l'équation 

du cinquième degré 9.5 

Sur la théorie des équations modulaires 29 



SUR lA RÉSOLUTION 



DB 



LiQDATION DD CINQUIÈME DEGRÉ. 



On sait que l'équation générale du cinquième degré peut être ramenée, 
par une substitution dont les coefficients se déterminent sans employer 
d'autres irrationnalités que des radicaux carrés et cubiques, à la forme 



jc* — jc — a = o. 



Ce résultat remarquable, du au géomètre anglais M. Jerrard, est le pas le 
plus important qui ait été fait dans la théorie algébrique des équations du 
cinquième degré, depuis qu'Abel a démontré qu'il était impossible de les 
résoudre par radicaux. Cette impossibilité manifeste en effet la nécessité 
d'introduire quelque élément analytique nouveau dans la recherche de la 
solution, et à ce titre il semble naturel de prendre comme auxiliaire les ra- 
cines de l'équation si simple dont nous venons de parler. Toutefois, pour 
légitimer véritablement son emploi comme élément essentiel de la résolu- 
tion de l'équation générale, il restait à voir si cette simplicité de forme per- 
mettait effectivement d'arriver à quelque notion sur la nature de ses racines, 
de manière à saisir ce qu'il y a de propre et d'essentiel dans le mode d'exis- 
tence de ces quantités, dont on ne sait jusqu'ici rien autre chose, si ce n'est 
qu'elles ne s'expriment point par radicaux. Or il est bien remarquable que 
l'équation de M. Jerrard se prête avec la plus grande facilité à cette re- 
cherche, et soit même, dans le sens que nous allons expliquer, susceptible 
d'une véritable résolution analytique. On peut en effet concevoir la question 
de la résolution des équations algébriques sous nn point de vue différent de 
celui qui depuis longtemps a été indiqué par la résolution des équations 
des quatre premiers degrés, et auquel on s*est surtout attaché. Au lieu de 
chercher à représenter par une formule radicale à déterminations mul- 
tiples le système des racines si étroitement liées entre elles lorsqu'on les 
considère comme fonctions des coefficients, on peut, ainsi que l'exemple en 
a été donné dans le troisième degré, chercher, en introduisant des va- 
riables auxiliaires, à obtenir les racines séparément exprimées par autant de 
H. r 



. (2) 

fonctions distinctes et uniformes relatives à ces nouvelles variables. Dans 
le cas dont nous venons de parler, où il s'agit de l'équation 

jc*— 3x H- aa = o, 

il suffit, comme on sait, de représenter le coefficient a par le sinus d'un arc a 
pour que les racines se séparent en ces trois (onctions bien déterminées 



a -h air a -f- 4 



ir 



asm^, asin — 5 — » asm 



Or c'est un fait tout seniblable que nous avons à exposer relativement à 
l'équation 



x* -- X — a = o. 



Seulement, au lieu des sinus ou cosinus, ce sont les transcendantes ellip- 
tiques qu'il sera nécessaire d'introduire, et nous allons en premier lieu en 
rappeler les définitions. 

Soient K et K' les fonctions complètes de l'intégrale elliptique 



r df 



c'est-à-dire 






> 



et 

K' 

7 = e ; 

la racine quatrième du module et de son complément s'exprime au 
moyen de q par ces fonctions dont Jacobi a fait la découverte, savoir : 

m 6 m* -h 2 m 



>*=^iïv'-r,^$^ -vâ»?^' "' 



2(-ir V 

= va yo 2 — 7^ ^ , = ^2\q _. _ > 



2' 



2m"-Hm 



29 m 2m' -h m 

(-0 9 



201 2 m' 
(-0 ? 

2 2m*H-m 



2. 



( 3) 



et 



^F = 



1—7 — ^*4-7*+ 7' 


— 7'>— ... 


1-4-7 — 7*— 7'— 7' 


-7''4-... 


1— 7 — 7*4- 7*4- 7' •-+-... 


14-7 4-7'4-7*4-7' 

• 


•-4- 


i — 274-27* — 27*4-27" — ... 


1 — 27'+ 2 7" — 27'*4-27"— ... 


1—27*4- 2 7*— 27" 


4-27"—... 


14- 27 -H 27*4- 27» 


4-2 7'<4-... 



Z(-.o 
2(-.) 



m -(3m'-+-wï) 



j 



2(— ) » 



2 



amT'i-m 



m m' 



2(-o 



m 3 m' 



^^ m 2 m* 

2(-') ? 



2 



m' 



En posant 



ITT» 

9=e , 



nous désignerons y/k par y (û>) et y/k' par t|^ (û>). Relativement à cette va- 
riable €ûy on aura ainsi des fonctions affranchies de l'ambiguïté qui tient au 

facteur yjq^ et dont je vais en peu de mots indiquer les propriétés fonda- 
mentales. Elles découlent des relations suivantes, dont la démonstration 
est immédiate, savoir : 

^{co -+-i) = 



c -+- rfe» 



On en déduit que f y ," ] et ^ (•■~^~T~ ) s'expriment simplement en 

f) («) et ij; (û?), a, 6, c^d étant des nombres entiers quelconques assujettis 
à la seule condition 

^ — ic = I . . 

Les relations auxquelles on parvient de la sorte ayant une grande impor- 

I. 



(4) 

tance, non-seulement pour l'objet que nous avons présentement en vue, 
mais pour la théorie des fonctions elliptiques et ses applications à l'arith- 
métique, je vais les indiquer en me bornant, pour abréger, aux valeurs de 

ç ( " — !")• J'observe à cet effet que la congruence 

ad -- bc^i mod. 2, 
est susceptible de six solutions distinctes renfermées dans ce tableau : 





a 


b 


c 


d 


I. 


I 








1 


II. 





1 


I 




1 


m. 


I 


I 





I 


IV. 


I 


I 


I 





V. 


I 





1 


I 


VI. 





I 


1 


1 



r-»-f/< 



et d'où résultent autant de formes différentes pour les expressions r- • 

Cela posé, nous aurons suivant chacun de ces six cas ces équations : 



(i) 



(II) 



(un 



(IV) 



(V) 



(VI) 



/f-hrfw\ , ■ 



:|y(c-t-iO-'j 



= f (») '^"iS) 



8 = + («)« (-) 



«W 



a-\- b{ 










, -TrCcC^-O + i] 



I 



-î^crf 









>K«) 



6) 









r ■ 



(5) 

Nous rappellerons encore cette propriété fondamentale qu'en désignant 
par n un nombre premier et posant 

i' et tt sont liés par une équation de degré n -+- 1 , qui présente ainsi un type 
nouveau d'équations algébriques dont les racines se séparent analytique» 
ment par l'introduction d'une nouvelle variable. En désignant, en efFet, par 
£ un nombre qui soit i ou — i, suivant que 2 est résidu ou non résidu qua- 
dratique par rapport à n, les /i + i racines u seront 



€ç(n«) et <p\^ — jj — j 



m étant un nombre entier pris suivant le module n {*). Mais sans insister 
ici sur les autres propriétés remarquables des équations modulaires, je 
m'attacherai seulement au fait si important annoncé par Galois, et qui 
consiste en ce qu'elles sont susceptibles d'un abaissement au degré inférieur 
d'une unité dans les cas de 

• 

71 = 5, 7i=7et7i=ii. 

Bien que nous ne possédions que quelques fragments de ses travaux sur 
cette question, il n'est pas difficile, en suivant la voie qu'il a ouverte, de 
retrouver la démonstration' de cette belle proposition; mais on n'arrive ainsi 
qu'à s'assurer de la possibilité de la réduction, et une lacune importante 
restait à remplir pour pousser la question jusqu'à son dernier terme (**)• 
Après des tentatives qui remontent à une époque déjà éloignée, j'ai trouvé 
que dans le cas de l'équation modulaire du sixième degré 

a* — p' -f- 5u*if^ (w* — f')fh ^uif{i — u*if*) = o, 
on y parvenait aisément en considérant la fonction suivante 



(*) La détermination de i a été donnée par M. Sohnke dans un excellent travail publié 
dans le tome XVI du Journal de M. Grelle sous le titre : AEquationes modulares pro trans- 
formatione fonctionum elUpticarum, 

[**) Postérieurement à mes premières recherches restées inédites, mais dont les résultais 
avaient été annoncés ( ûfiitprffi de Jacohi, t. Il, p. 249)» un géomètre italien distingué, 
M. Betti, a publié un travail sur le même sujet dans les Annales de M. Tortolini. 



(6) 
Effectivement les quantités 

*(û7), 0(âï-i-i6), $(c7 ■+- 2.16), $(û; + 3.i6), 0(fi7-t-4-i6) 



sont les racines d'une équation du cinquième degré dont les coefficients 
contiennent rationnellement f (o), savoir : 

$' - a\5»$9*(«>)+**(^«>)~ a* v/5^?M^) +*•(«)[! H-9*(û>)] = o. 

Or on voit qu'on ramène cette équation à celle de M. Jerrard eu faisant 
simplement 

car il vient par là 



x* 



3 n-^*(«) 



Donc il ne restera plus, pour arriver à l'expression des racines de l'équation 



x' — a: — a ^= o 



par la fonction $ {g>)^ qu'à déterminer a ou plutôt^ (o)) par la condition 
suivante : 



Soit, pour sitnplifier, 






A C^ 



et prenons pour inconnue f*(^) ou le module k lui-même de l'intégrale 
elliptique, on parviendra à une éqtiLtion du quatrième degré 

qui est susceptible d'une solution analytique sous le point de vue précisé- 
ment où nous sommes placés en ce moment, car en faisant 

on trouvera ces expressions des racines 

Ar = tang|, tang— 7— . tang-^» tang— 4 — 



(7) 
Faisant choix de l'une d'elle pour module, afin d'en déduire la valeur 
correspondante de », on aura, pour les racines de l'équation de 
M. Jerrard, ces valeurs 



X = 



1 *(»-hi6) 

I *(m-|-2. l6) 

I *(w-i-3.i6) 

1 *(«-i-4-*6) 



y^3 ?(«)4'V(a>) 

C'est donc la résolution de l'équation, en tant que les racines se trouvent 
représentées séparén^ent par des fonctions uniformes. Quant au calcul nu- 
mérique, la convergence extraordinaire des séries qui figurent au numéra- 
teur et au dénominateur de f (û))^ le rendra trèsHsourt, même dans le cas où 
q sera imaginaire, car on sait que son module peut toujours être abaissé 



/3 



au-dessous de la limite e ^ ^ = o,o658. On peut aussi faire le dévelop- 
pement suivant les puissances ascendantes de 9, ce qui donne, en posant, 

I 

pour simplifier, y^ = i|, 

et Ton trouverait^ pour le carré et le cube de $ (û>), 



La première des séries entre parenthèses manque des puissances de ({ dont 

l'exposant est ^4» mod. 5, la seconde et la troisième des puissances dont 
les exposants sont respectivement se 3 et = a, mod. 5. D'ailleurs le chan- 
gement de €ù en 67+ 16 m reviendra à multiplier la quantité <j par les 
diverses racines cinquièmes de l'unité. 

J'observerai enfin que le système des cinq fonctions 4» (o^ + 16 m) possède 



(8) 

par rapport aux substitutions 7- qui appartiennent à la première classe, 

des propriétés toutes semblables à celles de (p (â>]. Effectivement, en faisant, 
pour abréger, 

9{co -h ï6m) = $^(<»), 
on trouvera, par exemple, 



ITT 



$„(&)-+- art) = ^„H.s„(û.)e V, 

l'indice du troisième degré en m étant pris suivant le module 5. Mais pour 
les substitutions qui appartiennent à une autre classe que la première, on a 
des relations différentes et telles que celle-ci, par exemple, 






t-i-m-f-m'-4-9m 



{«). 



OÙ la substitution appartient à la classe III. C'est à l'aide de cette dernière 
relation qu'on démontre que l'équation du cinquième degré en <b{eo) 
manque des termes en $*, 4>* et î>*, ainsi que je le ferai voir en détail dans 
une autre occasion. 



(9) 



SUR LA RÉSOLUTION 



DB 



IIQIIATION DD QllATRIfilE DEGRÉ. 



La théorie des formes cubiques à trois indéterminées conduit à plu- 
sieurs équations remarquables du quatrième degré qui jouent en particulier 
un rôle important dans la détermination des points d'inflexion des courbes 
du troisième ordre. L'étude de ces équations m*ayant fait remarquer qu'elles 
offrent la plus étroite affinité avec celles qu'on rencontre dans la transfor- 
mation du troisième ordre des fonctions elliptiques, il ne m'a pas paru inu- 
tile de m'arrêter à ce rapprochement qui peut-être conduira à comparer de 
même les équations du neuvième degré dont dépendent les coordonnées . 
des points d'inflexion , avec celle qui se présente pour exprimer, par exem- 

pie, sin am x par sin amx. Cette analogie, d'ailleurs, m'a ouvert la voie pour 

représenter par les transcendantes elliptiques les racines de l'équation 
générale du quatrième degré, ce qui était le résultat auquel je désirais prin- 
cipalement parvenir. Avant d'exposer cette recherche qui se lie naturelle- 
ment' à celles qui concernent l'équation du cinquième degré, je rappellerai 
l'origine et j'indiquerai les propriétés principales de ces équations spéciales 
du quatrième degré, auxquelles conduit la théorie des formes cubiques à 
trois indéterminées. 

Soient, en employant les mêmes désignations que M. Cayley (*)i U une 
forme cubique quelconque, HU, PU, QU, le covariant et les deux formes 
adjointes du troisième degré par rapport aux indéterminées, S et T les deux 



(*) Je renverrai, pour les expressions de HU, PU, etc*, au beau travail du savant géomètre, 
publié dans les Transactions de la Société RoyalCy sous le titre : Third memoir upon Quantics, 
H. 2 



C.o) 

invariants de M. Aronhold, et S, une quantité définie par la condition 

S»4-Sî = T»j 
ces équations seront : 

(i) /(ar)=^*-6S je*-8Tjp-3S* = o, 

(2) /,(a:) = a:*-6S,x»-8Tx-3Sî = o, 

(3) F(x)= i2S.r*+8Tx»-6S*.r»-6STa:-T='-jS*=:o, 

et voici leurs propriétés essentielles. Soient â une racine de la première et A 
une racine de la troisième, les deux fonctions 

<^U-»-6HU, 6APU-1-QU 

« 

seront décomposables en facteurs linéaires. Désignons encore par d^ une 
racine de Téquation (2) qui a été déduite de l'équation (i) en permutant S 
et S| , on aura 

en nommant d^ le déterminant de la substitution propre à réduire U à la 
forme canonique 

j:* 4- ^* H- z* H- 6 Ixjz. 

Ces quantités i^d^^ A auront d'ailleurs les relations suivantes : 



I t 



1 • • < . • • 



et je me bornerai à donner ici leurs formes canoniques qui sont : 

U = Jc» -f- 7»-|- »> -H 6/fr/«, 
HU = r(x»H- ;r»4- 3») — (1 -I- 2 /*) xr«, 
PU = — /(a:»4-r»-+- 2») - (i — 4/*)xrs, 

QU = (i — 10 /») (jr» -h /•+«») — 6/«(5 + 4/»)xr«, 

Tr=i — aol»-.8/«, 
S, = iH-8/>. 



' ( ti ) 

Ceci posé, je comparerai d'abord à Téquation modulaire 

les équations (i) et (a). On sait qu'en faisant u = ^ (ca), on a pour v les quatre 
valeurs 

/o \ /»\ /»-l-i6\ /»-h2. i6\ 

or, en posant 
et 









on obtiendra pour les quatre racines ^ les expressions suivantes : 

« 

• » 



(4) 



•M)- 4^-^ 



» -h 2. 16 
* » - I \ / I 

V/S\ I -H 2 



f'(^) 




Maintenant si Ton change S en S|, afin d'arriver aux formules, analo- 
gues pour les racines â^ de l'équation (2), on sera conduit au module 

TH-v/s;' 

or à la relation S* -+- S^ = T* correspondra, entre k et /, celle-ci : 

• 

d'où récite immédiatement cette conséquence, que l'on passe deâ k â^^ en 

changeant simplement o en • 

Mais il est une autre équation du qua:trième degré que présente égale- 
ment là transformation du troisième ordre des fonctions elliptiques, et à la- 
quelle se ramènent d'une manière phis imtnédiate encore lôs équations ( i ) 
et (2). Je veux parler de la relation entre le multiplicateur M et le mo- 

2. 



( 'O 

dule k, qui est, en faisa'nt ^ = 2 (*) : 

2* _ 6z» - 8(i - aA:*) - 3 = o. 
En comparant cette équation avec l'équation (i), introduisant le module 

^ — =r~J 

2 V^ 

et faisant usage de l'expression de M donnée par Jacobi dans les Funda- 



{*) Jacobi a ap(>elé le premier l'attention sur ces équations qui offrent un grand intérêt, 
en particulier pour cette théorie de ]a multiplication complexe, sur laquelle M. Rronecker a 
récemment communiqué à TAcadéroie de Berlin des résultats aussi beaux qu'importants. Mais 
jusqu'ici on ne connaissait que l'équation donnée par Jacobi, et qui se rapporte à la transfor- 
mation du cinquième ordre* CeHe que j*ai employée a été calculée par le P. Joubert qui, 
suivant l'exemple donné par M. Sohnke pouf les équations modulaires, s'est occupé avec 
succès de leur formation, et les a obtenues pour le cinquième, le septième et le onzièm§ ordre, 
sous les formes suivantes : 

(M — I )* ^M — i\ -h ^ >tM"M» = o, 

-h 2" it» ^'» (^» — X^'») M' -f- 33 . 2» ;t» it'» M» = o. 

Un autre résultat très-intéressant^ obtenu aussi par le P. Jbubert, consiste en ce que, si l'on 
nomme M, M', W^ etc., les racines de l'équation pour le cinquième ordre, la fonction sui- 
vante des racines analogue à celle qui m'a donné la résolution de l'équation de M. Jerrard, 
savoir : 

.r = 5 (M - M') (M" -^ M*') (M^^ — W) 

satisfait à cette équation : 

X (x^ -h 5» . a» l^ k*J == 5» . 2". ;t* ^'4 (i — 4 >{.> it'») v^. 

A la vérité on n'obtient pas immédiatement ainsi la forme simple de M. Jerrard, mais j'ai 
remarqué qu'on y parvenait en employant la substitution 



I 



comme on peut le vérifier aisément. 



(.13 ) 
mentay on obtient pour les quatre racines è^ les valeurs suivantes 

Vs \-, vs — -V" ' 

sin'ooani 2 k sin* coam ^(K -h ' K.') 

sin»am|iK' ^ sin'am |(K— iK') 

VS T—^ >/S Z 

• sin» coam | / K' sin» coam ^ (K — i K') 



(5) 



A, ces formules je joindrai celles qui représentent les racines A de l'équa- 
9 tion (3)^ et où les fonctions elliptiques ont encore le même module, savoir : 



I -hcos'am |k *i -+- cos'am | (K H-iK') 



(6) 



- ^S 7 > - \/S 7 1 

^ sin»am| K ^ sin»am3(KH- iK') 

H- cos' am I i K' i +cos'ain | (K — /K') 

1 Vs 7 ' - v's z ■ 

^ sin'ain|*K' * sin'am |(K — iK<) 



Voici donc, au point de vue où je me suis placé dans mes recherches 
sur réquation du cinquième degré, la résolution de ces équations spéciales 
du quatrième degré qui s'offrent dans la théorie des formes cubiques à trois 
variables. Ces résultats, ainsi que je Tai dit plus haut, ouvrent la voie pour 
traiter d'une manière analogue Téquation générale, et parvenir à exprimer 
séparément les racines par des fonctions bien déterminées. Mais avant d'en- 
trer dans cette recherche, qui exige des principes dont je parlerai dans un 
autre article, je ferai encore une remarque essentielle sur les formules pré- 
cédentes. Elles dépendent du radical ^S^ et il importe de bien saisir de 
quelle manière elles subsistent dans leur ensemble, lorsque Ton change le 
signe de ce radical. Considérons en particulier les formules ( 5 ), on reconnaît 

d'abord qu'en mettant -^ ^S au lieu de V^y le module se change dans son 
complément. Or on sait par la théorie, de la transformation que le multi- 
plicateur M, lorsque l'on y remplace k par k!y se change en — M. Nos for- 
mules restent donc les mêmes, p^^e que les deux facteurs qui y entrent 
deviennent simultanément de signes opposé^. Chacune des racines cepen- 
dant ne reste pas la même lorsque l'on change ainsi le module dans son com- 

f^ément, ou £» en j et le tableau suivant , montrant de quelle manière 

elles s'échangent alors les unes dans les autres, fera bien complètement sai- 



(i4J 

sir toutes les conséquences de l'ambigiiïté inhérente au radic^^l que nous 
avons employé. 



« 



/ sin* am ^ K 

Vs V-' 

sin^ coam ^ K 

sin' am ~ ( K' 

4 T 
sin' coam ^ i K' 



Vs 



Vs 



sin' am ^ i K' 



sin' coam ~ f R' 



sin' am ~ K 



VS-- 



siii'ain|(K + /K') 



■< 



Vs- 



4 



sin' coamf(R + (K') 
sin'am|(K — iK') 

v/s z -• 

sin^coam |(K — iK') 



Vs 



sin' coam ~ R 

sin^amî(R — iR') 

7 1 

an» coam |(R— iR') 



VST 



sin»am|(R-hiR') 



sin^coam i(K.-4- i¥J) 



Les formules relatives aux racines A donnent lieu à des résultats entiè- 

* 

rement semblables, et quant aux formules (4)) je me bornerai à remarquer 
que les deux modules 



v/s 



T + V^S 



= et 






étant réciproques, elles sont identiques au fond sivec les formules (5) et 
peuvent s'y ramener par la substitution de — ^ — à ci>. Je ne m'arrêterai pas 

non plus aux relations qui existent entre les racines de chacune des équa- 
tions f{x) = o, f^ (jc) = o, F (x) = o, et auxquelles conduisent aisément 
les expressions que nous avons données. Seulement j'observerai que ces 
équations, comme celles de la théorie des fonctions elliptiques que j'ai 
employées, n'appartiennent pas au type d'irrationnalités le plus complexe de 
réquation générale du quatrième degré. Effectivement, si l'on considère à 
leur égard Téquation en Y de Galois, dont le degré distingue et caractérfse 
d'une manfère si précise ce qu'on peut appeler les divers ordres d^irrationnalités, 
on la trouve seulement du douzième deg|é, tandis que dans le cas général elle 
est nécessairement du vingt-quatrième. Il existe donc pour ces équations des 
fonctions non symétriques^ exprimables rationnellement par les coefficients, 
et le type de ces fonctions est donné très-simplement par le produit des six 
différences des racines. De là découlent, pour la théorie des fonctions elhp- 



( «5) 
tiques, d'importantes conséquences, se résumant dans ce fait, que le produit 
des deux fonctions cp {(ù) et t^ {tù) est le cube d'une nouvelle fonction également 
bien déterminée. Une formule depuis longtemps obtenue par Jacobi (Fun- 
damenta, § 36, équat. 4) donnait déjà, il est vrai, la notion de cette nouvelle 
transcendante, mais sans conduire à aucune de ses propriétés, que je vais 
indiquer succinctement en terminant cette Note. Et d'abord je la définirai 
par Téquation 

X(«)='Vâ.î^{i-?)(n-9»)(i-7»)(n-9*)..., 

en faisant toujours çzse'"^, de sorte que, relativement à w, on obtienne 
une expression entièrement déterminée. Gela posé, on aura ces relations 
qui se démontrent immédiatement, savoir : 

Voici maintenant celles qui se rapportent aux substitutions de la 

forme ^ ^^ > a, 6, c, d étant des nombres entiers assujettis à la condition 

ad— bc=zi^ et qu'il importait surtout d'obtenir. Distinguant, ainsi que je 
Fai déjà fait dans une circonstance toute semblable, ces substitutions en six 
classes {vojrez page. 4)^ et posant, pour abréger, 

— - («ft -h tf c -H W — «**c) 

p = e > 



on aura 



(■) X (^:) = px(«) (à) « 






3lir 



3 tir 
Si-sr 






3 'w , , 

e ^ 



(i6) 

Les symboles (-j? I|)ï etc., indiquent, suivant Tusage, le caractère 

quadratique du dénominateur par rapport au nombre 2. 

J'espère pouvoir présenter dans une autre occasion les conséquences 
de ces théorèmes pour l'arithmétique. 



( »7) 



f \ 



SUR OUELQUES THEOREMES D'ALGERRE 



BT 



LA RfimilTION DE L'iQDATION DD QIIATRIÊHE DEGRÉ. 



On sait que toute équation y (j:) = o peut être transformée en une 
autre du même degré enj^ par la substitution jr = fi^)-, oiifpx désigne une 
fonction rationnelle. Ce procédé de transformation, qui est si fréquemment 
employé en algèbre, va nous servir pour ramener l'équation générale du 
quatrième degré aux équations particulières qui ont été considérées dans 
un précédent article, et dont j'ai exprimé les racines au moyen des fonc- 
tions elliptiques. Mais en raison de son importance, et notamment de son 
application à la résolution de l'équation du cinquième degré, ce mode de 
transformation m'a paru demander une étude nouvelle, et je commencerai 
d'abord par en donner les résultats. 

Soit 

f{x) = a^ + haf*^^ 4- ... -h gx* -h Ax -h A = o 

l'équation proposée; l'expression la plus générale de ^ a? sera, comme on 
le sait, une fonction entière du degré /i — i , savoir : 

f (a-) = ^ 4- UX -h ^1 JC* 4- . . . + tn^%3^^ . 

Cela posé, en représentant la transformée en y par 

f + PkJT^' 4- /7a/^* 4- . . . 4- /?„ = o, 

l'un quelconque des coefficients, tel que je?/, sera une fraction ayant pour 
dénominateur a^""*^', et pour numérateur une fonction entière, homogène, 
de degré i par rapport à /, ^o) ^m • • • > ^«-a > ^^ de degré (/i — i) / par rapport 
aux coefficients a, 6, . . . , A, /:. Ce degré si élevé rend en quelque sorte 
H. 3 



( '8) 
impraticable le calcul de Téquation en y^ aussi ce qui a été obtenu de plus 
important par la considération de cette transformée, en particulier le théo- 
rème de M. Jerrard sur Téquation du cinquième degré, ne semble établi 
qu'à titre de possibilité, en raison de l'excessive complication des opéra- 
tions nécessaires poui" parvenir à un résultat effectif. Mais on peut surmon- 
ter ces difficultés par la proposition suivante. 
Soit 

^ = aT-+-iTo-l- ... -4-gT,^,-f- AT, 



«— a» 



«<,=t«to + 6T, -4-...-f-gT 



/I^B) 



CeAte substitution effectuée dans la Jonction pi la changera en une fonction P, 
du même degré par rapport aux indéterminées nouvelles T, T^, T| , . . . , T„^, mais 
débarrassée de tout dénominateur, et du degré i seulement par rapport aux coefjir 

cientsa^ b, .,,^h^ k. Déplus P^ sera divisible pam^ de sorte que^ P„ ne sera 

que du degré /i — i par rapport à ces coefficients. 

Cette proposition, très-facile à. établir, conduit à ta véritable forme ana- 
lytique qu'il est convenable de donner à la fonction <p (x), de sorte que dé- 
sormais la formule de transformation sera ainsi représentée : 



b 



bx 
-f- c 



T, M- ... -f-<fwr^* 



8 



T.-, 



et l'équation transformée par 



7"+ P,7«-' + P,7^» -+. ... + P„= o; 

tous les coefficients étant des fonctions entières de ceux dey^(a:). 

Une autre conséquence résulte encore dé IHntroâuction des variables T, 
To» T<,...,Tfl«a. On saitde combien detravaùxa été l'objet la théorie des fonc- 
tions homogènes à deux indéterminées, et combien de notions analytiques 
importantes cette étude a données à l'algèbre. Par exemple, ces fonctions 
désignées sous le nom AHnvariants, en raisoti tnéme de la propriété qui leur 
sert de définition, de se reproduire dafns toutes Jes tranrformées par des sub- 
stitutions linéaires, dontient les éléments qtii caractérisent les propriétés 



( "9 ) 
essentielles des racines des équations algébriques , celles qui subsistent dans 
ces diverses transformées {*). D'autre part, la connaissance acquise de ces 
fonctions, et de celles qu'on nomme covariants, permet, ds^ns beaucoup de 
circonstances, d'obtenir sans efforts le résultat de longs calculs qui, sans 
leur emploi immédiat, n'eussent au fond servi qu'à les mettre en évidence, 
ou à faire ressortir dans une question spéciale Tune des propriétés dont on 
possède maintenant la signification la plus étendue. Mais tant de beaux 
résultats, dont la science est surtout redevable aux travaux des savants géo- 
mètres anglais MM. Cayley et Sylvester, semblent ne pouvoir être utilisés, 
lorsqu'on sort de la comparaison des équations par des substitutions 
linéaires de la forme 



(0 



JC=^ 



aX 



7X 






ou bi^n X 



a — yx 



pour considérer, comme nous le faisons ici, les substitutions les plus géné- 
rales^. Effectivement, aucune combinaison rationnelle des coefficients /7|, 
P%9'*>^Pny ne &it apparaîtra les covariants de l'équatioo proposée; mais, 
comme nous allons voir, il arrive que ces quantités se manifestent, au con- 
traire^ immédiatement par l'introductioii des variables T, T^, T|, ..., T^,. 
C'est ce qui résulte de la pnoposition suivante. 
Soit 

F (X) = (yX -h ^Tf(r^^^ = AX« -h BX"-^ +. . .-h HX H- K = o 

la transformée par la substitution [i) de l'équation proposée, et représentons 
l'expression analogue ô f (iV)., mais relative à cett^ équation, par 



* (X) = A6 



AX 

B 



AX* 
BX 



6| 



AX"-* 
BX"-» 

H 



Gn-î 



(*) Par exemple, les conditioDs qui ^déteripinent le nombre des racines réelles et imagi- 
naires dans les équations à coefficients réels, dépendent uniquement des invariants, sauf le 
cas du quatrième degré. J'ai donné ces conditions^ indépendamment du théorème de 
M. Sturm, pour les équations du cinquième degré, dans un Mémoire sur la théorie des fonc- 
tions homogènes à deux indéterminées. {Cambridge and Dublin Mathematical Journal; 
année i8540 

3. 



(ao) 
on pourra immédiatement obtenir 0, en faisant dans 9, en premier lieu : 

To ={a^-^y)ia-h^ts)"->, 

T, =(a(?— |37)(a+|36)»-»(7 + Jg), 



^ ^^ ' T.- = {aâ - ^y) (a + ^6)""»-* (7 + Jg)S 



R-3 



sous la condition qu après les développements on remplace e' par 6^, de ma- 
nière à parvenir à des expressions linéaires en 60, S|,..., ©n-aj en second 
lieu^ et pour ce qui concerne T, la valeur à substituer se déduira de la relation 

/iaT4-(/i- i)^>ToH-(n- 2)cT,+...-4- 2gT„_3H- AT„_2 
= wAe + (/ï — i)BSo-f- (^ — a)Ce4-f-...-h aG6„_8 -^ HS;,_a. 

On remarquera la liaison qu'établit cette proposition entre les deux groupes 
d'indéterminées To, T^,..., T„_2i ^0» ^ivm ^/»-aî ^^ '^ rôle entièrement 
séparé de l'indéterminée T. Ces relations (3), indépendantes des coefficients 
a, è,. M S^i ^? représentent précisément ce que M. Sylvester a nommé une 
substitution congrédiente avec la substitution binaire : 

et le sens qu'on doit attacher à cette expression se trouvera nettement fixé 
par cette proposition : 

Désignons respectivement par S et (S) les substitutions (3) et (2); 51* Von 
obtient S en composant deux substitutions analogues S\ S"^ de sorte qu'on ait 

la substitution (S) sera de même composée de deux autres, et si l'on représente 
par (S') et (S") les substitutions déduites de S' et S", d'après la même loi que (S) 
de S, on aura la relation 

(S) = (S') (S'). 

De là résulte que toute fonction des quantités P|, Pjv--^ P»? indépendante 
de T, par exemple toutes les fonctions symétriques des différences des ra- 
cines^, seront, par rapport à T©, Ti,..., T„«a, des covariants de la fonction 



( ai ) 
homogène /"/(-)• Telles seront en particulier les quantités 

(«-i)PÎ-2/iP,, (/i-i)(/i-a)Pî-3n(/i-a)P,Pa-f-3n*P„ etc., 

qui jouent le principal rôle dans les recherches que j'ai entreprises sur la 
réduction de Téquation du cinquième degré à la forme obtenue par M. Jer- 
rard. Mais, en ce moment, c'est aux équations du quatrième degré que je 
vais appliquer ces considérations, afin de les réduire à la forme 



(4) 



a:* - 6 S A'^ - 8 T j: « 3 S> = o , 



et par là d'en conclure les expressions de leurs racines au moyen des fonc- 
tions elliptiques. Je me fonderai à cet effet sur cette remarque que dans 
cette équation, comme celles de la théorie des fonctions elliptiques aux- 
quelles elle a été comparée, savoir : 



et 



i^* -h a tt* v^* — a wi^ — u* = o, 



z*-6z^-8(i-2)t»)2-.3=o. 



l'invariant quadratique est nul. Or toute équation du quatrième degré 

Ax*-^ 4Bx* -i-6Ca:*+ 400- H-E= o, 

où Ion suppose cette quantité 

I=AE-4BD4-3C* = o, 

devient, en y remplaçant x par — j— , 

a:* - 6 (B» - AC) jc» - 4 (A*D - 3 ABC + aB») jc - 3(B« - AC)* = o; 

ce qui est bien la forme de l'équation (4). Etant donc proposée Téquation 
générale 

ax^ -h 4 ^^' + 6 c^^ -4- 4 ^^a? 4- ô = o, 



essayons de déterminer la substitution 

jr = ff[x) = aT -^ ax 

-+-4A 



cuxr 

^bx 

6c 



T, 



axr 

libx^ 
6 ex 

4rf 



T„ 



(a.) 
de manière que dans la transformée que nous écrirons ainsi 

l'invariant quadratique soit égal à zéro. On devra poser 

P,-^4P|P.-^3PÎ=^o, 

relation du quatrième degré par rapport à T^, T|, T^; mais ce qui justifie 
précisément le mode de réduction que nous avons en vue, c'est qu'elle se 
décompose en deux facteurs, de sorte qu'en posant 

^=aTJ-H4^T;H-eTJ-f-4rfT^T,-i-3cTpTaH-4*ToTo 
I =K «6 — 4 ^^+ 3 <:', ï = ace 4- ikbcd — ad^ — eb* — c', 
on aura l'une ou l'autre de ces équations du second degré seulement 

If+^6J + -^V^P-a7J»)(ToT,-TÎ) = o, 

On pourra donc, et d'une infinité de manières, en s'adjoignant de 
simples racines carrées, déterminer une substitution qui ramène toute 
équation de quatrième degré à l'équation (4), dont les racines ont été expri- 
mées par les fonctions elliptiques. Et on remarquera que f est bien un cova- 
riant de la forme 

/a* ax* -h Aix*jr^6cx*y^ 4- ^dxj* -h ejr\ 
car «dUte qoaïitité peut s'oblieiiir en rem[daçant dam l'expreasioD 

or', xjr, j^ d'une part, §^, Çij, >}* de l'autne, respectivement par T©, T,, Tj, 
d'ailleurs I et J sont les deux invariants et P — 27 J' le discriminant.' 

Mais il est une autre équation que présente la théorie de la transforma- 
tion du troisième ordre et à laquelle on pourrait, par une substitution 

de la forme y = ^ — ^> ramener également toute équation du quatrième 



(«3) 

degré. Soit, en général, pour un ordre quelconque n, 

en partant des expressions données dans les Fundamenta pour X et X' et 
d'où on tire 

_- j.„ an coam 2» . sincoam 4^ » .• • sîpcoaro ( ^ — ') ft> 

le P. Joubert a fait la remarque importaQte que le3 fonctions rationnelles 
symétriques des diverses valeurs 4e Y qui correspoiMient à /toutes les dé- 
terminations de 0), ne dépendent que du produit du module par son com- 
plément, de -sorte qu'ail «xiste entre V «t U une équation de 4egré « -f- 1 , 
analogue pour pt'usmirs proprtéléB esséntieHes (^) à Téquation «modulaine 
entre (^ et u. Par exemple, pour w = 3, /i = 5, w = 7, le caleul ^fectué par 
le P. Joubert donne les relations 

V*-4U»V«H-aUVH-U* = o, 
V*^ i6U»Y»4-i5D*V*-h i5U*V*^-4UV + U« = o, 
V«-64U^V'-!-7.48U«V«-7.96U*V»-f-7.94U*V* 
- 7.48U* V» 4- 7 . 12U* V* - 8UV+ !]• = o. 

C'est la première qui pourrait servir à Tobjet que nous indiquons ; mais je 
me bornerai, en terminant cette Note, à montrer qu'elle donne un nouvel 
exemple de ce rapprochement que j*ai essayé de faire ressortir, entre la 
théorie de la transformation pour le troisième ordre et celle des formes 
cubiques à trois indéterminées. Effectivement, le paramètre / qui figure 
dans la transformée canonique 

a:' -H/* -+- z^ •+: 6ir/z, 
dépend des invariants S et T, ou plutôt de S et S| par l'équation 

8/»-f-i ""4S.' 

Or il suffit, en introduisant une seule indéterminée, de poser 1 = pY 
pour la ramener à la relation entre V et U. De là résulte qu'en prenant pour 



(^) Ces propriétés seront i*objet d'un prochain article. 



(a4) 

module 



et posant^ pour abréger, 



K — ==— > 

2^ 



9 = |(fnK. + in'iR'), 



on a ces expressions des trois quantités â, A et /, savoir : 



sin'amy i /g i + cot'amy ,_ S 



S Àanif 
f S| sincoam^ 



Dans ces formules m et m^ peuvent être pris égaux à deux nombres entiers 
quelconques, pourvu qu'on ne les suppose pas en même temps nuls ou 
divisibles par 3. 



(a5) 



SUR LA RÉSOLUTION 



DB 



LiQIlATION DU CINQUIÈME DEGRi, 



Par m. Léopold KRONECKER. 



Extrait d'une IjCttre adressée à M. Hebmite. 



fierlio, lo 6 juin i858. 

• 

C'est avec le plus vif intérêt que j'ai lu votre excellent Mémoire sur 
la résolution des équations du cinquième degré par les fonctions elliptiques, 
intérêt qui s'est encore accru, s'il est possible, lorsque j'ai vu que dans les 
recherches que j'avais entreprises autrefois sur le même sujet, je me suis 
rencontré avec vous sur plusieurs points. Ea faisant ce travail il y a deux ans, 
j'avais communiqué à mon ami M. Kummer les principes desquels j'étais 
parti et les résultats qui en découlaient ; mais je ne voulais rien publier sur 
cette matière avant que j'eusse obtenu des résultats plus généraux. Bien 
que je ne sois pas encore parvenu à tout ce que je désirais, je crois pour- 
tant que la nouvelle méthode de résoudre le problème du cinquième degré 
présente en elle-même assez d'intérêt pour que j'ose vous en entretenir. 

C'est le sujet du petit Mémoire ci-joint (i) qui m'a conduit à présumer 
que les équations dont dépend la division de certaines fonctions transcen- 
d/antes, suffisent à résoudre des équations générales douées de certaines 
propriétés correspondantes du nombre de celles que j'ai désignées parle 
nom d'affections. En abordant cette question, beaucoup trop difficile pour 



( ' ) Voyez le$ Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Berlin^ séancedu 22 avril i858. 
H. 4 



être traitée dans toute sa généralité, j'ai commencé par rechercher le cas le 
plus simple, savoir cehii qui se rattache à la division des fonctions ellip- 
tiques en cinq parties égales. Pour vérifier dans ce cas particulier le résul- 
tat dont j'avais trouvé par induction la forme à priori, il se présente une 
méthode sûre fondée sur la réduction de M. Jerrard, dont je me suis servi 
d'abord. Mais si Ton envisage la question au point de vue général où je me 
suis placé, on reconnaît que cette méthode est indirecte. Persuadé d'ailleurs 
qu'il faut abandonner entièrement la méthode de M, Jerrard si l'on veut 
passer aux cas supérieurs, je me suis occupé encore à chercher une manière 
plus directe de résoudre les équations du cinquième degré, sans faire aucune 
réduction préalable des coefficients. Et en effet j'ai réussi à trouver la résolu- 
tion que je désirais, à l'aide de principes qui s'appliquent également à des 
problèmes ultérieurs, qui cependant ne m'ont ])as encore fourni jusqu'à 
présent la solution complète de ces derniers. Occupé depuis longtemps de 
questions relatives à la théorie des nombres, je n'ai pu poursuivre les re- 
cherches algébriques dont je viens de vous parler; mais j'espère revenir dans 
quelque temps à ces problèmes intéressants et en compléter la solution, à 
moins que cela ne soit au-dessus de mes forces. 

Maintenant pour revenir au problème que vous avez résolu avec tant 
d'élégance, désignons par Xo^x^^aozj x^y ^a^ les racines d'une équation 
quelconque du cinquième degré : X = o. Puis faisons 

J [^ J «^05 ^il ^%J -^S? ^4) 



m=:o n=i 



i> étant une quantité variable. Enfin soit 

pour les cinq valeurs de l'indice r = 0,1, a, 3, 4. Cela posé, toutes les six* 
fonctions/ sont cycliques par rapport aux quantités ;r, c'est-à-dire la fonc- 
tion y'(p, jCq, a:,, jTa, JC3, X4), par exempljî, n'est pas altérée en effectuant 

une des permutations circulaires [' ), mais elle est changée par toute 

autre permutation des lettres x. Or on sait que la valeur d'une fonction cy- 
clique quelconque de Xq^ X|,.,., étant connue, chacune de ces racines 
s'eîcprime en fonction algébrique explicite des quantités données, et Ton 
connaît d'ailleurs la forme précise de cette expression. Je rappelle en outre 



( =^7 ) 
que, toutes les valeurs distinctes d'une fonction cyclique étant données, les 
cinq' racines .r s'en déduisent rationnellement. On obtiendra donc deux mé- 
thodes différentes pour représenter les racines x comme fonctions explicites 
des coefficients de l'équation X = o, si l'on parvient à exprimer les fonctions 
cycliques/ d'une manière explicite par les fonctions symétriques des quan- 
tités X. Pour faire cela, déterminons la valeur de k^ telle, que la condition 

soit remplie. Les trois coefficients de cette équation quadratique, par rap- 
port à p, contiennent les quantités x de telle manière qu'ils ne prennent 
pas plus de deux valeurs en subissant toutes les permutations possibles. 
D'où il résulte que v s'exprime par les coefficients de l'équation X = o, à 
l'aide de radicaux carrés. Après avoir disposé ainsi de la valeur de i^, les six 
fonctionsy,yô,y,,...,y4, satisfont identiquement à une équation de la forme 
suivante 

où y et cj/ désignent des fonctions rationnelles de p, Xq^ x,, Xj, X;^^Xt^^ in- 
variables pour toute permutation circulaire des lettres jc. Les fonctions y et i|» 
peuvent donc s'exprimer par les fonctions symétriques des quantités x à 
l'aide de radicaux carrés. Or Téquation remarquable du douzième degré 
que je viens d'établir peut se résoudre par les fonctions elliptiques, ou, ce 
qui revient au même, les six fonctions algébriques implicites deç) et^, savoir; 
f^ /o5 j\'>j\^j%^f\'i s'expriment d'une manière explicite à l'aide des fonctions 
elliptiques. En effet, après avoir tiré de l'équation 



64 A:^ A'^ y* -+- ip V 4 A^ ^t'^ ç = 4 ©^ 

la valeur du module A, les douze fonctions ity seront représentées par l'ex- 
pression suivante 

± - v4 k^ k!^ Q 7 ?— ) 

2 ' \cos am 4 w cos am a « / 

en y remplaçant co par les six quantités 

5^5' 5~~ ' 5 



(>9) 



SUR 



LA THÉORIE DES ÉQUATIONS NODIILAIRES. 



n On connaît toute l'importance dans la théorie des équations algé- 
briques de cette fonction des coefficients à laquelle a été donné le nom de 
discriminant, et qui représente le produit symétrique des carrés des diffé- 
rences des racines. Aussi les géomètres ont-ils recherché, surtout dans ces 
derniers temps, les méthodes les plus propres à en abréger le calcul. Mais, 
dans les applications à une équation donnée, ces méthodes générales sont 
le plus souvent impraticables en raison des opérations laborieuses qu'elles 
exigent. C'est cette difficulté qui m'a longtemps arrêté pour former la 
réduite du onzième degré de l'équation modulaire du douzième, la fonc- 
tion des racines que j'ai employée pour effectuer l'abaissement conduisant 
dans les trois cas du sixième, du huitième et du douzième degré à calculer 
le discriminant de ces équations. J'ai donc essayé d'étudier en général le 
discriminant des équations modulaires, en prenant pour point de départ 
les expressions des racines sous forme transcendante, dans l'espérance d'ar- 
river à un calcul qui pût être effectué au moins dans le cas que j'avais en 
vue. J'y suis effectivement parvenu, et j'ai vu en même temps cette recherche, 
conduire, par une voie aussi simple que naturelle, à d'importantes notions 
arithmétiques et à des propositions qu'on ne trouvera pas, j'espère, sans 
intérêt, sur les sommes de nombres de classes de formes quadratiques, 
dont les déterminants suivent une certaine loi. M. Kronecker a déjà donné 
dans les Comptes rendus de r Académie de Berlin (séance du 29 octobre 1857) 
les énoncés de plusieurs beaux théorèmes de cette nature ; ceux que je vais 
établir dans cette Note et qui, si je ne me trompe, tiennent à d'autres prin- 
cipes, contribueront, je pense, avec les propositions dues à cet illustre géo- 
H. 5 



( 3o ) 

inèlre, à jeter un nouveau jour sur une des plus importantes théories de 
rarithmétiqne, en la rattachant par de nouveaux liens à l'algèbre et à l'ana- 
lyse transcendante. 

» I. Soit // un nombre premier et ©(i', m) = o Téquation modulaire de 

degré n 4- 1; en faisant, pour abréger, €= (-U on trouve très-aisément 

que le produit des carrés des différences des racines s^j prises deux à deux, 
et que je désignerai par D, a la forme suivante : 

le polynôme Uq -h UtU^ -¥-,.. étant réciproque, c'est-à-dire que ^,=: ^.,-1, et 
ne contenant ni le facteur w, ni le facteur 1 — i/*; quant au nombre v, il 

a pour valeur v = — 7 (/i -f- s). Cela posé, je vais en premier lieu 

établir que D est un carré parfait. Je me fonderai pour cela sur la relation 
importante donnée par Jacobi, entre le multiplicateur M, le module pro- 
posé et le module transformé, savoir : 



n k(\ — k-) d\ 



En posant 



g=fi(.,«), g = ^(.,«), 



de sorte qu'on ait, en vertu de l'équation modulaire, 

da ^{vyu) 

dv e(p, «)' 



♦ /T ^. 4 .\ 



cette relation, si Ton introduit e^ et p au lieu de s'k et vX> deviendra 

n a(i — «•)3'{p, «) 

D'ailleurs les valeurs correspondantes de (^ et M sont, comme on sait. 
V = i/''[sincoam2/9 sincoam4/9. . ■ sincoam(w — i)p], 

|à| / K— — p sin coaro ap sin coam 4p • • ■ ^i" ^o^^ (^ — P l' 

^1 sînam 2p 8Înam4p. • • sinain(/i — i)p J 



(3, ) 
de sorte qu'en faisant 



K i¥J K-f-iK' (,1 — i)K._f-iK' 



^ n n n 



on obtiendra simultanément les n + i valeurs de M et les /i + i racines 
Vq^ <^o-*-> ^n^^ l'équation modulaire. Or les équations entre M et A: ont pour 
coefficients des fonctions entières de k^ celui de la plus haute puissance 



n — I 

'1 



de M étant l'unité, et le dernier la constante numérique ^ — ■' > de 

manière que le multiplicateur ne peut jamais devenir nul ou infini pour 
une valeur finie de k. Celte propriété importante, qui est due au P. Jou- 
bert, montre que les valeurs de i^ et «, qui satisfont à l'équation modu- 
laire et à sa dérivée Q [ç^ u) = o, annulent nécessairement aussi le dénomi- 
nateur de M, et par suite S" (i^, m), si Ton exclut les cas limites, « = o, 
w'= I, auxquels correspondent, comme on sait, p= o, p'= i. Cette res- 
triction faite, on peut conclure que toutes les autres solutions simultanées 
des équations 0(<^, u) = o, Q{Vj u) = o sont doubles; elles annulent, en 
effet, le déterminant fonctionnel 

dp du du dç du dv 

• 

car, à cause de l'équation = o, ce déterminant contient le facteur 
d'(p, u). C'est dire que tous les facteurs du discriminant, autres que u et 
I .— w*, y entrent au carré, d'où résulte que le polynôme a,, + a, w* -+-..., 
qui ne contient pas ces facteurs, et par suite le discriminant lui-même, est un 
carré parÊiit. A la vérité pourrait-on demander en toute rigueur de démon- 
trer qu'il ne renferme pas de facteurs triples ou élevés à une puissance 
impaire. Mais ce point sera lui-même complètement établi plus tard, à l'aide 
d'une remarque que je dois encore placer ici. Multiplions membre à membre 
les /i + I équations qu'on déduit de la relation 

n u[i — u*)^[vy u) 

» 

en y remplaçant successivement v par toutes les racines de l'équation mo- 
dulaire. Comme le produit des valeurs de M est ±: -» on trouvera, en em- 

5. 



( 32 ) 

ployant, pour abréger, le signe de multiplication H, 

1 1 Utf(t^9*) UB(ç,u) 



/i» /i»^' «»+' (i— «•)»+' n^(p, tt) 
Mais on sait que * 

on en conclut (*) que 

II (i -i^*) = (i -.«•)"-»•% 

et il vient par conséquent 

Or, £|u signe près, 110 («^, m) est le discriminant, et cette relation montre 
qu'on peut le considérer comme provenant de l'élimination de Vj entre les 
équations 

e(p,w)=o, 3-(i^,M) = o, 

la seconde étant la dérivée — • Cela posé, faisons le changement de (^ en u, 
et de u en su; d'après une propriété fondamentale des équations modu- 
laires, 6 ne changera pas, — = o deviendra par conséquent -j- = o, et le 
discriminant, lorsqu'on y aura mis £(^ au lieu de u^ représentera le résultat 

dS 

de l'élimination de u entre les équations 6 = o, -^ = o. Mais D ne conte- 
nant que des puissances paires de u, ce changement reviendra à écrire 
la lettre if au lieu de u, d'où cette conséquence que l'ensemble des valeurs 
égales des racines <^o» ^iv^ ^nj ^^ diffère pas de la sérié des valeurs de u 
qui font acquérir à Téquation modulaire ces valeurs égales. 

» II. Après avoir établi que le discriminant est un carré parfait, ce qui 
permet d'écrire désormais 



(*) Il suffit pour cela de poser »=:f («i), puis de changer «> en 1 etd*élever les deux mem- 

bres à la puissance huitième, les racines p«, «'ly ••» étant ainsi devenues : y^i — ^\» \/^ -^f^^y ^^c. 



. (33) 

* 

si Ton pose 

$ (m) = ao -f- a, ii*4- . . . -h€huP% v = —g —j 

nous introduirons la transcendante dont j'ai donné ailleurs (p. 3) la défini- 
tion et les propriétés fondamentales, en faisant 

w = ç)(w), 

et c*est ainsi que nous parviendrons à représenter explicitement toutes les 
racines du polynôme 6 {u)j en donnant pour chacune d'elles la valeur de oj. 
Le caractère principal de ces valeurs consiste en ce qu'elles sont Tune 
des racines toujours imaginaires, celle où le coefficient de i (*)est positif, 
d'équations du second degré à coefficients entiers, et que nous désignerons 
de cette manière : 

(a) Pw*4-3Q<k)H-R = o. 

Nous allons donner le moyen d'obtenir toutes ces équations en les dédui- 
sant de certaines classes de formes quadratiques de déterminant négatif, 
mais il est d'abord nécessaire, à l'égard de cette dépendance que nous éta- 
blissons entre les équations et les classes, d'indiquer la proposition suivante : 

9 A toutes les classes qui ont même déterminant ou seulement à certains 
ordres correspondront toujours, sauf deux exceptions dont il sera question 
plusbas, soit deux groupes, soit six groupes de huit équations, telles, que 
dans un même groupe toutes les équations se déduisent de l'une d'elles, en 
y remplaçant tù par a> + 2 /n, le nombre m étant pris suivant le module 8. 
De sorte que si l'on veut avoir seulement les valeurs distinctes de f*(ck)), 
on ne conservera qu'une forme de chaque groupe, alors et sous cette con- 
dition correspondront à chaque classe deux ou six équations {a). 

)> Désignons dans le premier cas par 

P(a*H- 2Qm4- R = o 

m 

l'une des équations, l'autre s^en déduira en y remplaçant cj par " , et il 

en résultera deux valeurs ^ (u) et -yr qui seront deux racines réciproques 

du polynôme 6{u). 

» Pour le second cas, on aura d'abord les deux équations dont nous 



(*) Peut-être n'est-il pas inutile, pour éviter toute ambiguïté, de dire que la quantité / dont 
il est question est prédséroent celle qui ligure dans l'expression analytique de f((a) où elle 
a été introduite en posant g = e^^^- 



(34) 

venons de parler, et chacune d'elles en donnera en outré deux autres, en v 
remplaçant o) par et w — i . Autrement dit, les six équations résulteront 

de Tune quelconque d'entre elles en y faisant les substitutions 

u I . I I 
w, — ■ — > > » w — J, I . 

A ces six valeurs de u répondent six groupes de huit racines du poly- 
nôme {u)f qu'on obtiendra par les relations 

«•=f'("). Twy -^"f"'- T^)- 7^- %r- 

» Quant aux cas d'exception à ces règles, ils concernent les classes dé- 
rivées de ces deux formes (i, o, i) et (a, i, a). On rencontre les premières 
lorsque le nombre premier n étant ^ i mod 4 9 on peut faire 

n = a^-\' 4**- 

Selon qu'elles présentent les caractères propres aux formes qui fournissent 
deux ou six équations, on n'en doit prendre qu'une seule, savoir : 

«*— aw-J- a = o, d'où w = i4-i, ç*(oi>)= — i; 

ou bien les trois suivantes : 

«*-Hi=o, d'où « = 1, ç'(ca) = -» 

«" — a&)4-a = o, «=n-i, ^•(«)==— i, 

a«*-f- aa)-f- 1 = o, o) = :> ©•(«) = a. 

Le premier casa lieu lorsque b est impair ou impairement pair, et le second 
lorsque b est divisible par 4 dans l'équation n = a* -f- 4^*. Les classes déri- 
vées de (a, I , a) s'offrent lorsque /ï = a' •+- 3 6*, et toujours avec les carac- 
tères propres aux formes qui fournissent six équations. Mais on en doit 
prendre seulement deux, qui sont 

«* 4- « -I- I = o, «* — > w 4- 1 = o, 

et quant aux valeurs deç) (od) qu'elles déterminent, elles dépendent de l'équa- 
tion 

9**(a)) — 9'(w)h- I = o. 

Ainsi le facteur u** — a'-hi se présentera dans le polynôme Q{u) pour 
/i = y, i3, 19, etc. 



( 35 ) 

» Ces préliminaires établis, nous arrivons à la formation même des équa- 
tions en G^. A cet effet, nous considérerons deux séries de déterminants, les 
uns donnés par l'expression 

A = (8c?-3n)(n- acf), 
les autres par celle-ci : 

en attribuant à c^ toutes les valeurs en nombre évidemment fini qui les 
rendent positives, et nous aurons les propositions suivantes : 

Première série : A = (8(? — 3n)(w — a(>). 

9 Pour A^ I mod 4^ toutes les classes de déterminants — A peuvent être 
représentées par des formes (P, Q!, R), où Q est impair et R impairement 
pair. Ces formes fourniront deux équations, dont le type sera précisément 

P«"4- aQw -*- R= o. 

» Pour A ^ — I mod4i les seules chisses de Tordre improprement pri- 
mitif ou dérivées d'ordres improprement primitifs pourront être représentées 
de même ; les autres seront exclues, et chacune des premières fournira deux 
ou six équations, suivant qu'on aura A ^ -* i ou 3 mod 8, 

Deuxième série ; A'= 8c?(;i — 8c>). 

» Pour ^ impair, on exclut les classes où les troi$ coefficients sont divi- ' 
sibles par a ; toutes les autres fournissent chacune deux équations. 

j» Si (^ est pair,, on prend sans exception toutes les classes de détermi- 
nants — A% et c'est alors seulement qu'on rencontre les groupes de classes 
auxquelles correspondent six équations. Le premier de ces groupes se pré- 
sente lorsque ^^ — an mod 8 ; il est composé de toutes les classes dont les 
coefficients sont divisibles par 4? et qui, ce facteur supprimé, constituent 
l'ordre improprement primitif, ainsi que les dérivés dWdrcs improprement 

primitifs (*), de déterminant g' I^ second est donné par les valeurs de â 

qui sont multiples de 8, et il est composé de toutes les classes dont les 



(*) Cette réunion d'ordres qui se présente dans les deux séries de déterminants pourrait 
être appelée simplement le groupe improprement primitif; ce secait ainsi Tensemble des 
classes (A, B, C), où B est impair, A et G pairs, ces trois nombres pouvant avoir d'ailleurs 
un diviseur impair quelconque* 



(36) 

coefficients sont divisibles par 8. L'une quelconque de ces classes, aux- 
quelles correspondent six équations, étant désignée par (P, Q, R), conduit 
immédiatement à l'équation type 

Pw^-h aQGi)-+-R = o; 

mais pour les autres, auxquelles correspondent deux équations, et qu'on 
peut représenter ainsi : 

/5(A,B,C), 

p étant I, a ou 4) et A, B, C, n'étant plus à la fois divisibles par a, il sera 
toujours possible de déduire de (A, B, C) une transformée (P, Q, R) où P 
est impair, R pair, et l'équation en eo sera encore 

Pw*4- aQw + R = o. 

» Une observation essentielle doit être enfin jointe aux propriétés précé- 
dentes : c'est que dans la série des équations dont nous devons donner la 
formation, jamais on n'obtiendra d^ux fois la même, si on a égard à ce qui a 
été précédemment dit relativement'aux classes dérivées des formes (i , o, i) 
et (2, I, a). Cela résulte de ce qu'un nombre premier n'est susceptible 
que d'une représentation par la totalité des formes non équivalentes qui 
appartiennent au même déterminant 

» III. Plusieurs des résultats précédents s'étendent aux équations plus 
générales qui fournissent la relation entre les modules pour toutes les trans- 
formations des fonctions elliptiques. Ceux que je vais indiquer, en consi- 
dérant pour l'ordre de la transformation un nombre n impair sans diviseurs 
carrés, montreront, je pense, l'intérêt qui m'a attaché à ces recherches, 
auxquelles j'espère donner par la suite de nouveaux développements. Dans ce 

cas, l'équation rationnelle entre {^ = ^X et u=^>Jk est d'un degré égal à la 
somme des diviseurs de /i, et le premier point que j'ai dû établir consiste 
en ce que si l'on pose 14 = 9 (o), les racines seront représentées ainsi : 

âet ai étant deux diviseurs de n, de sorte que n= ^^1, m étant pris sui- 
vant le module â^ et f | j ayant la signification habituelle relative aux nom- 
bres composés. 

j) Considérant ensuite le produit des carrés des différences des racines, 



( 3? ) 
j'ai trouvé qu'en le désignant toujours par D, on avait 

D = w''(i - u*f [ao 4- a, ii^ -h a^u'^ H- . . . -+- r?, w^"), 

où N, N' et V sont des nombres entiers dont la détermination dépend des 
fonctions numériques suivantes, qui s'offrent pour la première fois en ana- 
lyse. 

» Soient âeiâ" deux diviseurs de n tels, que Ton ait 

la première de ces fonctions sera la somme de toutes les quantités è^ cJ^, et je 
la désignerai ainsi : 

La seconde X sera définie comme la précédente, mais en employant seule- 
ment pour & etâ^ les diviseurs de n qui satisfont à la condition 



(f ) = (f ) 



Cela étant, si X et 2f(J représentent la somme et le nombre des diviseurs 

de n, on aura 

N = /iX'— aTG H- a Afl, 

4v = X* — JG — N — 4 N'. 

it Ces quantités auxquelles conduit immédiatement le discriminant' de 
Téquation modulaire montrent donc le premier emploi des fonctions A», 
A'„, qui, si on les prend complètes, c'est-à-dire en introduisant dans les 
sommes tous les diviseurs de ti, seront de la nature des fonctions numéri- 
ques récemment étudiées par M. Liouville dans plusieurs travaux importants. 
Mais la limitation &â'<,n leur imprime un caractère spécial qui rappelle 
dans lia théorie des nombres la notion analytique de parties de Jonctions. 
Telle est encore cette expression de la somme des diviseurs de n, moindres 

que ^rij dont M. Kronecker a montré le premier Tusage dans le beau tra- 
vail que j'ai déjà cité. Et il semble jusqu'ici que ce soit dans l'évaluation 
des sommes de nombres de classes de formes quadratiques, dont les déter- 
minants suivent certaines progressions du second or^re, que ces trois fonc- 
tions se trouvent appelées à jouer leur principal rôle; mais à cet égard 
j'aurai surtout pour but de faire ressortir, dans le cas où n est premier, la 
liaison qui existe entre le degré du discriminant et ces nombres de classes. 
Pour cela, il est nécessaire que je démontre, comme je l'ai déjà annoncé, 
que le discriminant ne contient pas de facteurs multiples autres que u et 
I -- u*, dont le degré de multiplicité soit supérieur à deux. 

H. 6 



(38) 

IV. Les valeurs de o) par lesquelles les racines du discriminant, en 
exceptant w ==o, w* = i , ont élé exprimées sous la forme 

w = ?(«), 
présentent ce caractère que deux quantités y ( w ), <p ( w' )» sont essentiellement 
différentes du moment que g) et co' ne dépendent pas de la même équation ; 
et il en résulte, en premier lieu , que les valeurs communes que prennent 
respectivement deux racines de Téquation modulaire pour u = (p{(ù) et 
u = ç ( w') ne pourront non plus jamais être égales. Ce point établi, j'observe 
ensuite que le déterminant Q'— PR de- l'équation Pw"-h aQ(«)-4- R = o 
étant résidu quadratique de w, la congruence Px*-i- aQjc + R^o mod n 
admet, si P n'est pas multiple du module, deux solutions réelles qu'il sera 
toujours possible de représenter par des nombres multiples de i6 : 

Cela étant, les deux racines de l'équation modulaire, qui deviennent égales 
lorsqu'on fait w = y(w), seront 



9 (^) e. f (^) 



£t dans le cas où l'on suppose P^omodw, la congruence n'admettant 
plus qu'une solution x^jx, on aurait l'égalité 



f(^) =©?(»")• 



Mais on peut toujours faire en sorte d'exclure l'un des cas, de rester dans 
le premier, par exemple^ en tirant l'équation en &) d'une forme quadra- 
tique (P, Q, R) où P ne soit pas divisible par n. Cela posé, l'équation mo- 
dulaire ne saurait présenter non plus, quand on y fait w = ç(o.)), une troi- 
sième racine y ( ^| égale aux précédentes ; car jui" devrait nécessairement 

vériBer, ainsi que /jl et fx', la congruence Par^-h q,Qx -h R^o mod/i, ce 
qui est impossible lorsqu'on suppose le module un nombre premier. Or, 
ayant démontré que les racines du discriminant ne différaient pas de l'en- 
semble des valeurs égales des racines Vq^ t^<, . . ., y„, de l'équation modu- 
laire, nous concluons qu'il n'existe pas de facteurs triples dans le discri- 
minant précisément de ce que trois des quantités i^^y v^^..,, sf„y ne peuvent 
jamais coïncider pour aucune valeur finie de d). Ayant donc fait 

D = «"** ( I - «• )»+«Ô» (a), 

nous pouvons regarder comme inégales toutes les racines de TéquatioD 



( 39 ) 

(u) = o; et c'est la proposition que nous voulions établir afin d'arriver à 
celle-ci : Pour tout nombre premier n, la somme des nombres d'équations déduites 
des classes quadratiques de la première série de déterminants — A, et de la seconde 
série de déterminants — A', est égale au degré du poljrnôme ${u). Mais en con- 
sidérant, pour plus de simplicité, les seules équations qui fournissent des 
valeurs distinctes de^'^w), nous pouvons remplacer cet énoncé parle 
suivant : 

» Soient ff, etc^ les nombres de classes de la première série auxquelles corres- 
pondent deux ou six équations, o'\ et d^ les quantités analogues dans la seconde 
série, on aura en tenant compte des classes dérivées rfe (i , o, i) e^ ( a, i , 2), fa 
relation 

2 ( C7 ^ 4- ff , ) -h 6 ( (Ta -4- (7^ ) = V = "^-^ - ~^ . 

» Tel est donc le théorème, essentiellement limité jusqu'ici au cas où n 
est premier, que nous allons vérifier par un certain nombre d'exemples, en 
donnant pour chacun d'eux la série des équations en ro, ce qui va nous 
conduire en même temps à présenter des applications des diverses règles 
énoncées précédemment pour la formation de ces équations. 

» V. A cet effet, j'emploierai pour abréger la notation suivante. (A, B, C) 
étant une forme quelconque, je poserai 

(C, -B,A)=(A,B,C),, (A, -Ah-B,A-.2B + C)=(A,B,C),. 

II deviendra possible ainsi de rattacher immédiatement les équations aux 
formes réduites, par lesquelles il convient d'autant mieux de représenter 
les classes, qu'on obtiendra de la sorte les coefficients les plus simples et les 
valeurs de w pour lesquelles les séries elliptiques présentent la plus grande 
convergence. Effectivement, si Ton se borne aux équations qui fournissent 
des valeurs distinctes de ç' (w), ou même à la seule équation type (voyez 
p. 35), elle sera toujours l'une de celles-ci : 

(A,B,C)=o, (A,B,C), = o, (A,B,C), = o, 

les indéterminées xel jr étant remplacées par w et 1, et (A, B, C) étant une 
forme réduite. Je conviendrai enfin de les désigner seulement par leurs 
premiers membres et de représenter respectivement par 2 et 2' pour la pre- 
mière et la seconde série de déterminants, les sommes de nombres d'équa- 
tions donnant des valeurs distinctes de ?'(w), de sorte que la relation 
que nous nous proposons de vérifier sera 

«'— I « -h e 



2+r=v= 



8 a 

6. 



(4o) 

» Cela posé, voici en commençant par les cas les plus simples les résul- 
tats que Ton obtient : ' . 

n = 3. 

n Jje nombre V se réduitàzéro, ô {u) est une constante, et le discriminant 
de réquation modulaire w*— ('*■+- 2uv{i — w^t^') = o, ainsi que le donne 
facilement le calcul direct, est 

D=tt*(I-w•)^ 
• «= 5, V = I. 

» La première série de déterminants fournit la seule valeur A = i , d'où la 
classe ( I ) o, i), qui par exception donne au lieu de deux équations une seule, 
(t, o, i)a. La seconde série de déterminants n'existe pas, et Ton obtient sim- 
plement 

Ô(«)= !-+-«•, D=:a«(ï -"•)*(! -»-«•)*• 

n= 7, V = a. 

» La première série existe seule et doutée A = 3, d'où les deux classes 
(r, o, 3)^ (a, I, a). Mais on ne doit employer que la classe improprement 
primitive,. qui, par exception encore, au lieu de six équations, n'en donne 
que deux, dont le type est (a, i , a). La valeur D est 

■ 

n =£ 1 1, V = 10. ' 

» La première série donne A = 7, et la classe improprement primitive 
(a, i,4)î d'où l'équation type (a, i,4)|. On a donc 2 = a. Dans la 
deuxième série A'= a4, et Ton obtient les quatre équations types : 

{1,0,24), (3, 0,8), (4, a, 7),, (5, i,5)a, 

de sorte que 2' == 8, 2 -»- 2' = 10. 

» On verra plus tard comment on parvient ensuite à l'expression : 

X (i — 301960 w* H- 355o49aw** H- 19797821 768 w'* -4- 13017608^'^ 
197978a » u*^ ^ 355049a u** — 301960 u^^ + u^*Y. 



» Pour les valeurs plus grandes de w, je résumerai les résultats dans le 
tableau suivant : 




17 



i9 



23 



29 



A = 3 






(a, I, 2) 






^ = 9 






('' O' 9), (2, I, 


5). 




(3, 0, 3), 






2 = 7 






A = i3 






(i, o, l3), (2, I 


>7). 




A = i5 




1 


(2' »> 8), (4, ,, 


4), 




2 = 8 






A = i5 


• 




(a. I, 8). (4, 1, 


4), 




A = 21 






(l, O, 21), (3, o, 


,7), 


• 


(a, 1, II), (5, 2 


,5), 




• • 2=12 






A = 19 






(2, I, 10) 






A =33 






(i,o,.33), (3, .0, 


•0, 




(^» », 17)1 (6, 3, 


7), 




A = i5 






^ '» 8)1(4, I, 


4), 




2 = 18 






A =25 






(i, 0, 25), (2, I, 


3), 




(5,0, 5), 






A-5i 






(2, I, 26) (6, 3, 


10) 




A -45 






(^û,45),(3,o,i5),(5,o, 


9), 


K^a3), (7,2,7)^(6,3, 


9), 


A-7 






(^. ', 4), 






2-3i 




• 



A' =72 

(',0, 72)(3,o, 24)(8, o, 9). (4, 2, 19), 
(9, 3, 9), (8, 4, I,), 

A' =16 

(i, o, 16) (2, o, 8) (4, 2, 5), 

(4,0,4), 
2'= ,9 



A' =88 
(i, 0,88) (8, o,- II), (4,2, 23), (8,4, i3), 

A' =48 
(1,0, 48) (2, 0,24) (3,0, 16) (4, 0,-12) 
(^yO,S)(7, I, 7), (4, 2, i3), (8,4, 8) 

2'= 24 



A'=II2 

(1, O, 112) (2, o, 56) (4, o, 28), (8, o, 14), 
(7,0, 16) (4, 2, 29), (11,3, II), (8, 4, 16) 

A' =120 
(i, o, 120) (3, o, 40) (5, o, 24) (8, o, i5), 
(", I, n), (4, 2, 3i)(8, 4, 17). (12,6, i3), 

2' =36 



27 



36 



U 



A = 120 
(i, o, 120) (3, o, 40) (5, o, 24) (8, o, i5), (II, I, II), (4, 2, 32), 

(8,4,^7). (12, 6, i3), 

A =208 

(i, 0, 208) (2, o, io4) (4, o, 52) (8, o, 26), (i3. o, 16) 

('^^29),(ii,-i,29),(7,3,3i),(7,~3,3i),(4,2,53),(8,4,28), 
(>6, 8, 17), (14, 4, ,6)(i4, — 4, ,6) 

A =168 

(I, o, ,68) (8, o, 21), (3, o, 56) (7, o, 24 ) (,3, i, .3), (4, 2, 43) 

. (8,4, 23). (12, 6, 17), 

2'= 60 



91 



/ 



(42) 

I» Je remarquerai encore, avant de passer à d'autres points, comment on 
aurait pu être conduit par une voie entièrement arithmétique à la propo- 
sition dont il a été fait précédemment usage, et qui consiste en ce que l'en* 
semble des valeurs égales c^©» **! v^ ^nt ne diffère pas de la série des valeurs 
de H qui font acquérir à Téquation modulaire ces racines égales. 

» Reprenons en effet Téquation Pw^ 4- aQw 4- R = o et la quantité 
u = 9(0.)), à laquelle, ainsi qu'il a été dit tout à Theure, correspondent les 

deux racines égales : (pi- — ^j et (p ( "'"^ y En faisant 



6* U 

=cr, 

n 



on aura 



= °' 



équation dont les coefficients sont entiers, et qu'on peut regarder non - 
seulement comme déduite d'une forme quadratique de même déterminant 
que (P, Q, R), mais encore comme présentant tous les .caractères propres 
aux équations en w. Effectivement, n étant impair et juiun multiple de 16, 
il «st clair qu'on aura 

Pfj,^-Q = Qmoda, î^i^l±^5fi±«: = Rinod4. 

wP, P|j.-|-Q, -^- ^^ 1 appar- 
tiennent à la même classe, on obtiendra précisément 

Mais en général elles ne seront pas équivalentes, et l'on pourra seulement 
dire que toutes tes valeurs de u qui auront été déduites d'un sjrstème de classes 
de même déterminant se reproduisent dans les valeurs égales correspondantes des 
racines i'o, i^i, . . ., i'». 

» VI. Une conséquence importante des résultats précédemment exposés 
consiste en ce que toutes les valeurs de w' = 9'(«) qui font acquérir des 
racines doubles à l'équation modulaire, représentent également des modules 
de fonctions elliptiques pour lesquels a lieu la multiplication complexe. 
Nous avons vu en effet que la quantité co dépendait de la relation 

Aw*-f- aBco -h C = o, 

(A, B, C) étant une forme quadratique de déterminant négatif, ce qui est 



( 43 ) 

précisément le caractèt-e essentiel de ces modules. Je vais donc présenter à 
l'égard des équations algébriques qui servent à les déterminer les remarques 
auxquelles j'ai été naturellement amené par les recherches précédentes, et 
qui serviront de complément aux théorèmes fondamentaux déjà donnés sur 
ce sujet par M. Kronecker. 

» Voici d'abord un choix particulier dont je conviendrai pour les formes 
destinées à représenter tes diverses classes quadratiques qui appartiennent 
au même déterminant. En désignant ces formes par (A, B, C) et faisant 
A = AC — B', je supposerai, ce qui est toujours possible, que C soit pair et 
A impair, de sorte que dans le groupe proprement primitif {*) on aura, 
suivant que 

A ^ f mod 4 , B et - C impairs ; 

A^2mod49 B pair et -C impair; 

A ^ — I mod 4 9 B impair et G multiple de 4* 

• 

» En second lieu, et pour ce qui concerne le groupe improprement pri- 
mitif, il ne sera posé aucune condition lorsque A^ 3 mod 8; mais dans le 
cas de A = — imodS, nous prendrons C impairement pair. Les formes 
ainsi choisies, et que nous garderons désormais pour représenter les classes, 
jouissent de cette propriété de conserver les mêmes caractères dans toutes 
leurs transformées par des substitutions au déterminant un^ xr=r aX + ]3 Y, 
jrz=z yX-H c^Y, où |3 est pair, a et c^ impairs. Cela posé, si l'on détermine co 
en faisant A«*4- 2BG)rf-C = o, (A,B,C) représentant successivement toutes 
les classes du groupe proprement primitif et de même déterminant — A, les 
diverses quantités a: = y* ^ w) seront racines d'une équation qui sera réci- 
proque, dont le degré sera double du nombre des classes et dont les coeffi- 
cients seront entiers, en supposant celui de la puissance la plus élevée de x 
égal à l'unité. 

» A l'égard du groupe improprement primitif, on obtiendra comme 
précédemment une équation réciproque dont le degré sera encore le double 
du nombre des classes, mais avec une puissance de 2 pour coefficient du 
premier terme lorsque A^ — i mod 8. Enfin si l'on suppose A ^ 3 mod 8, 
le degré sera six fois le nombre des classes, et tous les coefficients entiers, 
celui du premier terme étant l'unité. 

(*) Foyez la note de la page 35. 



(44) 

» Voici maintenant la méthode par laquelle on peut obtenir ces équations 
dans tous les cas. 

• » VII. Convenons, pour mettre en évidence le déterminant des formes 
quadratiques dont elles dépendent principalement, de les désigner par 

F<(a7, A) = o lorsque A^i mod49 
Fj{j:, A) = o lorsque A^!2 mod49 

le groupe proprement primitif existant seul pour ces deux déterminants. 
Dans les cas suivants, ce sont les équations qut^ répondent aux formes du 
groupe improprement primitif qu'il convient de considérer, et nous les dé- 
signerons par 

^i(a:, A) = o lorsque A ^3 mod8, 
^,(a:, A) = o lorsque A ^ — i mod 8. 

Cela posé, soit 6 (i^, u) = o l'équation modulaire pour la tranformation qui 
se rapporte à un nombre impair n quelconque. En joignant à cette équation 
celles-ci : 

i*>. «* = -: u^ = a:, 

I — if* ' 

4*», W* = -^ M* = l — X, 

oh en déduira quatre équations en a:, dont les premiers membres présen- 
teront cette propriété remarquable d'être le produit de facteurs qui seront 
respectivement de la forme : 

1°. F,(jtr,A) j / an — I, a/2 — 9, 271 — 25, ..., 

2*^. FJXy^)\ ^ , , 1 2W, 2/2— 4, 2/2 — l6, ..., 

, ) A ayant les valeurs < , . ^ 

3^. .f^(x,A)l "^ ] 4/2 — I, 4^.— 9? ^l« — .^5,..., 

4*>. j:'et ^a(Jcr,A) ) ( 8/2 — i, 8/2 — 9, 8/2 — 25,.. 

Il en résulte que les polynômes F,(cr, A), Fa(a-, A), ^^(jr. A), #2(a, A), 
s'obtiennent en déterminant le plus grand commun diviseur entre les pre- 
miers membres de deux des équations que nous venons de considérer, et ré- 



(45) 

pondant à deux valeurs de /?, qui seront successivement 



1^. 



,L, L-, p et |3'- étant impairs ; 



a^ 



»-> ^9 P et p étant pairs ; 

3^. . > '^ » — 2"^' p et p étant impau's ; 

4**. g ^ y — g~— > p et p' étant impairs. 

» Voici ensuite comment, sans changer leur degré, on déduira des deux 
équations ^i (x. A) == o^ ^2(^9 ^) == o, qui se rapportent au groupe impro- 
prement primitif, celles qui correspondent au groupe proprement primitif. 
Dans les deux cas on calculera d'abord la transformée de degré sous-double 

en z = y f X -f- a -h -|, puis on y remplacera z par l ^ _ | 1 ce qui ra- 
mènera au degré primitif (^). Enfin, pour passer des équations relatives au 
déterminant —A à celles qui concernent le déterminant — 4^> o^ ^^ra 
dans Féquation qui appartient au groupe proprement primitif des formes de 
déterminant — A la substitution 

jc ^ — — -^ ^ • 

^ 2v(r 

Et si Ton représente les classes de déterminant — 4^9 ^onX les trois termes 
ne sont pas pairs en même temps, par des formes (À, B, C), ou C soit pair, 
A impair, en posant s 

Aoi)*+ aBw-h C = o, 

les quantités f*{^) seront précisément les racines de l'équation en jr. Elle 
est d'ailleurs évidemment d'un degré double de celui de Téquation en jc, de 
même que le nombre des classes de déterminant — 4^9 dont il vient d'être 
question, est double du nombre des classes de déterminant — A. L'applica- 
tion plusieurs fois répétée de ce procédé suffirait à donner les*équations qui 
se rapportent aux déterminants multiples d'une puissance de 4* M^i^ i^î îl 
convient de distinguer ceux qui sont le quadruple d'un nombre impair de 

(*) Ce calcul présente, à Tégard de Téquation ^3(x,A) = o, la circonstance remarquable 
que le coefGcient de la puissance la plus élevée de jr, qui était une puissance de deux, deviept 
dans l'équation transformée égal à Punité. 

H. 7 



(46) 

ceux qui sont multiples de 8* C'est aux premiers que s' applique spéciale* 
ment la méthode qui vient d'être indiquée; et dorénavant les équations qui 
leur correspondent seront désignées par F^(ar^ A) — o. En représentant par 
Fj^{a:^A) = o celles qui concernent les déterminants multiples de 8, on a 
en effet cette proposition que le premier membre de l'équation en x qui 
résulte du système 

analogue à ceux qui ont été considérés tout à l'heure, est le produit de tac- 
teurs de la forme ¥^{Xyà)^ A prenant la suite des valeurs 4 ('^ — 0» 
4(w — 9), 4 (w — a5\ etc. Je n'insiste pas. en ce moment sur les consé- 
quences à déduire de là, non plus que sur beaucoup de questions impor- 
tantes pour la théorie des formes quadratiques auxquelles conduisent les 
résultats précédents (*), et je me bornerai à remarquer que des propositions 
énoncées sur les réunions d'ordres nommées groupes proprement eiimpro» 
prement primitifs, on conclut immédiatement les suivantes : 

» JjarU représenté le système des classes de i ordre proprement primitif pout^ 
im déterminant quelconque par des formes {A^B,C)fOUCest pair, A impair, les 
quantités (p*{(ù), en définissant o) par les relatiom Ac^^ + :> Biù + G ::;: o, sont 
racines d'une équation réciproque à coefficients entiers dont le degré est précisé- 
ment double du nombre des classes. 

• Et de méme^ si l'on représente les classes de r ordre improprement primitif 
de déterminant A ^ — i mod 8 par des formes (A, B,C), où C est impairement 
pair, on obtiendra une équation réciproque dont le degré sera encore double du 
nombre des classes. 

» Mais pouf Tordre improprement primitif de déterminant ^'6 mod 8, le 
degré est six fois le nombre des classes. 

» On peut enfin supposer égal à l*wiité le coe^ieni du premier Lerme dans 
ces équations, sauf pour celles qui répondent à V ordre improprement primitifs 
oii il est une puissance de % lorsque A =: -* i mod 8. 

» VlII. La» principale propriété du polynôme i^ (^,A) coQsiste en ce 
qu'il se décompose en facteurs du sixième degré de cette forme remarquable 



( * ) En particnHer fiour les somnaiîons aaalogiies à celles qui ont été données potir la pre- 
tiiière fois par M.Krooecker. 



( 47 ) 

de sorte que la substitution y = ^-r-^ j— ramène l'équatiou i^ (x, A) = o 

à un degré précisément égal au nombre des classes improprement primi- 
tives de déterminant — A. Gela résulte de ce qu'on peut réunir les racines 

en groupes, où elles sont représentées par l'expression ^^(^ — r^U 

tfi, h^ Cf d étant des nombres entiers quelconques/ tels que ad-^ bc:=: i. 
Or en faisant f * (d)) == p, cette expression représente les six valeurs distinctes 

I I p p — I 

et telles seront les racines de l'équation (;r* •-«- x 4- 1)' + a ( Jt* •*- x)* =s o, 
car on vérifie immédiatement qu'elle reste la même quand on y remplacer 

par -t I — X, et dés lors par les substitutions composées de celles-là, savoir 



X 
I " X X — I 



D'ailleurs p étant seul arbitraire, cette équation, qui 

1 -^ X X — \ X * * * 

contient une indéterminée a, aura bien la forme analytique la plus géné- 
rale. Elle se présente au reste d'elle-même, en recherchant dans les cas les 
plus simple^ le polynôme ^«(x, A). Partons, par exemple, des équations 
modulaires pour /t = 3 et /i = 5, auxquelles on doit joindre, d'après ce qui 

a été dit : t^* = j: =: y Parmi les diverses formes dont elles sont suscep- 
tibles, je choisirai celles que Jacobi obtient en faisant 9 = 1 — a Ar*, 
/= I -^ a X*, savoir: 

(9-/)*==:i56(i-9»)(i-Z»)[i6y/(9^9/)* + 9(45-.7/)(9-./n 

En effet, ces quantités s'obtiennent immédiatement en .r, et en substituant 
les valeurs 

q = J ^ %x. /= j 

d'où 

q^l—% ; -f 

la première équation donne 

(a;« - X + i) [(x* - * + 0» + a» (ar« - dp)* ] = o, 
et la seconde 

[(a:« - X -M)» + 2' (jc» - x)« J[(jr» - « + 1)» ^hi». 3» (x» - «)»]= o. 



(48) 

Le facteui* commun aux deux cas répond à A = f i, et les autres aux déter- 
minants — 3, — 19. Pour A = 27, on trouverait 

(x* - jf + i)« -f- a^. 5* .3(0:* — xy = 0. 

En général, lorsque Tordre improprement primitif de déterminant — A sera 

formé de la seule classe (a, 1, U a sera un nombre entier qu'on 

pourra calculer en exprimant que 1 équation est vérifiée pour j: = ç*(w), 

ou d'après la condition aw* + a « H = o , w = ^^ — ^^ • Soit 

donc q = e'"", on trouvera, en employant l'expression de Jacobi, 

celte valeur où n'entre que ç* : 

et par suite, en remarquant que 9*= — c""^^, 

Or, depuis A= 19, les termes de la série, à partir du troisième, n'influent 
plus sur la partie entière, de sorte qu'on a exactement, en désignant par a 

le nombre entier immédiatement supérieur k é^^^, 

û — 744 

2* 

D'ailleurs ces termes négligés décroissent avec une grande rapidité lorsque A 

augmente; il en résulte que la transcendante numérique e*^^ approche 
alors extrêmement d'un nombre entier. Soit par exemple A = 43, qui donne 
mie seule classe improprement primitive, on trouve 

■ 

«'^=884736743,9997775..., 

et a = a**'. 3*. 5*. Les déterminants — 67 et — 163 sont dans le même cas, 

de sorte que dans la quantité e^^^^^ la partie décimale commencerait par 
une suite de douze chiffres égaux kg. 



(49') 

» IX. L'étude des fonctions F| (^, A) et F^ {jc^ A), qui se présentent avec 
les mêmes propriétés^ conduit à des résultats analogues à ceux que nous 
venons d'indiquer relativement à ^4 (x, A), tandis que ^a(^j ^)> q^* cor- 
respond à Tordre improprement primitif des classes de déterminant — A, 
dans le cas de A^— i mod 8, semble devoir rester entièrement en dehors 
de cette analogie. Réservant pour un autre moment l'étude de cette fonc- 
tion, je me bornerai maintenant aux résultats qui concernent les deux 
premières, ^ dont voici la principale propriété : 

» Si Ton excepte les cas de A = i, A = a, l'ensemble de leurs racines 
peut être décomposé en groupes, qui chacun en comprennent quatre que 
l'on peut représenter ainsi : 



/.-v/^Y . A + vpV 



Il s'ensuit qu'elles sont décomposables en facteurs du quatrième degré de 
cette forme :' 

(x -h 1/ -4- ax [x — 1)*, 

et qu'on peut ramener les deux équations Ft [Xy A) = o, F2(jr, A) = o à 
un degré quatre fois moindre, moitié par conséquent du nombre des classes 

(x H- i)* 

de déterminant — A. par la substitution r = -V^ -r-- 

» Les considérations arithmétiques qui conduisent à ce résultat montrent 
en même temps que le nombre des classes de déterminant — A est tou- 
jours pair lorsque A^i ou ^ a mod 4> sauf les exceptions ci-dessus men- 
tionnées de A = I, A = a. S'il se réduit à deux, a sera un nombre entier, 
qu'on pourra calculer comme il suit : 

i^. A^i mod4- 
M Les deux classes sont alors représentées par les formes réduites : 



(i, o, A), ^a, I, ^^j 



et la première donne l'équation 

(i, o, A), = 0, 
n: 8 



C 5o ) 
d'où 

» = I + I V A* 

m 

» Il suffit donc d'exprimer que {x -+- 1)* -h ax{x — i)* = o a lieu pour 
X = 9* (w), ce qui donne, en faisant q = c"'", 

i6a = — (--h ip4 4- 4372c H- gôaSGç^-f- . ..)? 
et par suite comme d'après la valeur de w, 9 = — é^^^^, 

Or depuis A = 9, on peut se borner aux deux premiers termes de cette 
suite, et si Ton désigne par a le nombre entier immédiatement supérieur à 



, on aura exactement 



a — io4 
a = — TT^ 
10 



» Les déterminants^ qui ne donnent ainsi que deux classes dans Tordre 
primitif et auxquels on pourra appliquer cette formule, sont 

— 5, — 9, — i3, — aS, — 37, etc. 

» Par la méthode algébrique indiquée plus haut, § VII, on obtient les ré- 
sultats suivantis que l'emploi de la formule pourra servir à vériâer, savoir (*) : 

■ 

{x H- i)* -4- ii^x{x — i)"= o A = 5, 

{x -h lY-h 3.^^x{x — if=o A = 9, 

{x -h i)*-f- 3Va«x(a:- i )* = o A = i3, 

{x-^iY-h 5.3*.a'a:(jc-i)»=o A = aS. 

a**. A^a mod 4* 

» Les deux classes, qu'on suppose seules exister, sont représentées par 



(*) En rappliquant au cas de A = 87, on aura l'occasion de vérifier que dans la quan- 

.., ffv^ . 4^7^ 1.1'.. 
tue c H ^ , la partie decnnale commence par onze zéros. 

7rV37 '^ 



(5r ) 
les formes 

(i, o, A), (a, o, ^a); 
à la première correspond la valeur 

U = { y' A, 

d'où 

q = e , 

et, tout à fait comme précédemment, on est conduit à l'expression 

• £n désignant encore par a le nombre entier immédiatement supérieur 

k e ^ , on aura la formule 

a -4- io4 
i6 ' 

qui sera applicable à partir de A = lo. 

» Lies déterminants qui ne fournissent que deux classes dans l'ordre pri- 
mitif, seront 

. —6, — lo, — 18, — aa, —58, etc., 

si on les joint aux: précédents, ainsi qu'à ceux dont il a déjà été question 
à propos du polynôme ^^ (x, A), on aura autant de cas dans lesquels 

e^^^ approche d'autant plus d'un nombre entier que A sera plus grand; 

ainsi^ par exemple, dans la quantité é"^ la partie décimale commence 
par sept chiffres égaux à 9. 

B Voici les équations auxquelles on parvient, comme on va le voir, par 
la méthode algébrique générale, savoir : 

a:*— 6x-4-i = o A= a, 

(^ + ,)4-. y, a*. x{x-iY=o A= 6, 

(a:-f-i)*— 5*. a'. a:(jc — i)*=o A =10, 

(jc.+ i)*— 7*. a*. a:{x — iY=iO A =18, 

(a:-hi)*— II*. 3*.a*jr(jc— i)*=o A=aa. 

8. 



(Sa) 

On remarquera que le coefficient numérique — a est toujours un carré 
divisible par A, sauf le cas du déterminant — i8, le seul qui, n'étant pas 
le double d'un nombre premier, ne renferme cependant que deux classes 
dansj'ordre primitif. Mais lorsqu'on a A^ i mod 4» c'est la quantité a + 16 
qui contient A en facteur lorsqu'il est un nombre premier, et le quo- 
tient • se présente toujours comme égal à un carré. La même circon- 

stance se remarque dans les équations 

{x^— a: + i)'-f- a{x^^ a:y = o; 

« 

à l'égard de la quantité 4 a -^ ^7 (*), qui est également le produit de A par 
un carré, lorsque A est un nombre premier. 

» X. l.e calcul des polynômes F| (x, A) et Fj (jc, A) repose, comme il a 
été dit, sur la formation de l'équation qui résulte du système 

e(i^, «) = o, tt* = ^J, 



ou 



e(i;, w)=:o, w*=-:t 



f^-^l 



c'-f-l 



en faisant u^=^x (*^). Les quantités A^ qui répondent dans les deux cas aux 
valeurs de n pour lesquelles on possède l'équation modulaire, sont indi- 
quées dans ce tableau : 

' ' ' ' M^»^^ Il ^1 1 ■ Pi ■ ,1 .^^^■^^^^ 

(•) L'identité 

4[(x»--ar-M)^-f-a(.r»— a:)»] = (2Jr>— 3x»— 3jc -j- 2)'4- (4a 4- a7)(j:'— ^)' 

en montre l'ori^çine, et donne en même temps une résolution facile des équations ^, [x, A) = o^ 
lorsqu'elles sont du 6*^ degré. 



ITC 



(**) Le système (p, tt) = o, p = - » «• = jr, donne aussi une équation en x dont le 

tir 

premier membre est le produit de facteurs qui sont tous de la forme F, (x, à) ou ^^{jc^ à). 
Le premier cas a Heu lorsque le nombre //, qui désigne Tordre de la transformation à laquelle 
se rapporte l'équation modulaire, est ^ i mod 4> €t alors A = /i — p', p étant impair. 
Si /î ^ — I mod 4, ce sont les facteurs F, (x, A) qui se présentent, A étant encore n — p', 
mais p devant être supposé pair. 



( 5J ) 



n 


A5I 


(mod 4)* 


A ^2 (mod 4). 


3 


5 


2, 6 


5 


ï, 


9 


6, 10 


* 

7 


5, 


i3 


10, i4 


II 


i3, 


21 


* 

6, 18, 22 


i3 


». 


17, 25 


10, 22, 26 


'7 


9. 


25, 33 


18, 3o, 34 


»9 


i3, 


27, 39 


2, 22, 34, 38 



» On y remarque que n= 11 conduit à trois déterminants^ 2 mod 4» 
auxquels correspondent seulement deux classes dans l'ordre primitif, le dé- 
terminant — 18 fournissant en outre une classe dérivée de (i, o, 2). Ce cas 
donnera donc les polynômes F, {Xy A) pour les valeurs A = 2, 6, 18, 22, 
et nous le choisirons comme exemple de la marche qu'on peut suivre dans 
ce genre de calcul. 

D J'observe à cet effet qu'en disposant dans un ordre convenable les 
termes de l'équation donnée par M. Sohnke, on peut l'écrire : 



«•a - u'^ + 44'^* ^' {^' - u*) -h i65 u* P* (P* - u*) 
3aM'*i;«« -22w«ç/*((/»-f-tt»)-f-88w*p*-M32M^i>^ - 

22W<^(|^' -h U*) — 32«P = O, 

OU bien, en mettant en évidence le facteur v* — /<*, 



i32tt*t^'— 88 wV 



(i,* _ tt*) (p« 4. w« 4- 44 !<• po ^ j66 m*p* 4- 44 M» (;*) 

32M'*t^**- 22w»t'»((^»-Hw')-f- 88w*i^*-h i32wV^— i32tt*i;*-88tt*t'» 

-+- 22Wi^{l''-|- «•) — 32Wi; = O. 



(54) 

» Or en faisant «p = w, la relation 



4 «^— I 

w*= — 



ou 

u*if* -h u* H- i^* — 1=0, 

donne 

p* -1- M* = I — tv*, 

i;' -4- tt* = i — 4 w* 4- w^, 



p* — w* = v^i — 6w* -f- w* ; 

de sorte qu'on peut immédiatement déduire de l'équation modulaire une 
relation contenant seulement w^ savoir : 



yjî — 6w*-f- w^ [w* 4- 44 w'* + i6aw* -h 44w^^ -+- 1) 

-4- low (tv**^4- I iw>*-f- a2fv* — aaw* — 1 1 w^ — i) = o. 

Or, en faisant disparaître le radical on parvient à une équation réciproque 
en îv*, ce qui conduit à poser 

W'-h —, = Zy 

et on trouve ainsi : 



(z^ — 8)(z*4-44z-+- i6o)«— ioo(z—2)(z^4- 12Z-4- 32)^ = 

ou 

z(z-+- 4)^ (2— 20) (z* 4- 192) = a. 

» Maintenant nous observerons qu'en faisant vf = or, on a 

» Ainsi l'expression •■- — — ^ dont il a été déjà parlé comme entrant es- 
sentiellement dans la composition des équations que nous voulons obtenir, 
se présente ici d'elle-même, et puisque 

W* 4- -^ — 2 = Z^ — 4> 



(55) 

la quantité a sera liée à z par cette relation très-simple a= — (a* — 4 )*• H 
en résulte que l'équation en x est le produit des^facteurs suivants : 

(jc-m)*- a*a?(jc-i), [(a:-f-I)*-3^2*x(a:-I)^]^ 

[(x-f-i)*- 7*.a*x(a:- i)»f 
et 

(a:-M)*-ii^3\2*a:(x - i)% 

le dernier qui répond à la valeur la plus élevée de A, étant le seul qui 
n'entre pas au carré, car (po 4- i)* — ^*a:{x — i)* = (jr* — 6a: -h i)*. Et 
comme ils sont écrits en suivant l'ordre des valeurs croissantes de la quan- 
tité Uj ils correspondent respectivement à A = a, 6, i8, niky puisque, abs- 
traction faite du signe, a augmente avec A d'après la relation 

i6a= — \e -hio4-4-.../. 

» XI. Le polynôme ^j (jcr, A), dans le cas le plus simple où l'on a A = 7, 
s'obtient immédiatement par les équations fondamentales 

U^ = rr » «• = I — JC, 

en supposant (^ =: u, et supprimant dans le résultat le facteur x. On trouve 

ainsi l'équation 

i6jc*— ' 3ia:H-i6 = o. 

Pour les valeurs suivantes de A, le calcul devient plus difficile, et c'est en 
recourant à des méthodes particulières, que le P. Joubert, dans un travaij 

important sur le discriminant des équations en U = \/kk' et V = \j}X\ a 
réussi à obtenir ces polynômes pour A = 15, a3, 3f. Je me bornerai à 
donner l'idée de ces procédés et des méthodes variées qu'on peut suivre 
dans ces recherches en considérant le cas de A = 1 5. 

9 Alors on a dans l'ordre improprement primitif, deux formes conduisant 
aux équations types 

(2, I, 8), =0, (4, I, 4)a= o; 

et si l'on fait pour un instant (4> i, 4) = o, ou a &>* -+- w -♦- 3 = o et 
I = ç*(w) cj^*(û,)), on trouvera très-aisément l'équation en Ç, en remar- 
quant qu'on peut écrire 

2 
a&) + 1 = ï 



(56) 
d'où 



'l'(^" + = + (-i) = ?(;) 



et, par suite, en élevant à la puissance quatrième, 

2^'*(tù) 1 + ip* (w) 

Comme on a d'ailleurs [f*(<«>) -f- <|'*(w)]* = i -H aÇ*, on trouvera 



ce qui donne 

(§-2)(|»-6|+4) = o. 

» Le facteur du second degré convient seul, et on en tire Téquation 
en x, en remarquant qu'on doit supposer x = ç'((k) -4- i) = "7/rrr"' ^® 
sorte qu'on aura 

et, par suite, 

« 

» Cette équation, conformément à ce qu'on a dit en général, a pour 
coefficient de jc* une puissance de 2, et la forme particulière sous laquelle 
elle se présente permettra d'en déduire très-facilement la transformée, qui 
Correspond à l'ordre proprement primitif (*), savoir : 

et de vérifier ainsi que dans cette transformée le coefficient de la puissance 
la plus élevée de x redevient égal à l'unité. 

» XII. Nous possédons maintenant tous les éléments qui figurent dans le 
discriminant de l'équation modulaire du 11^ degré, qui sont les facteurs 
relatifs à Tordre improprement primitif de déterminant — 7, et à Tordre 
primitif de déterminant — a4. Le premier, comme on vient de le trouver, 
est 16a:'— 3i X -f- 16. Le second doit être tiré de Téquation 

(jc-i-i)*— 3*. a* j:(x — i)* = o, 
(♦) Voyez S VII, p. 45. 



(5?) 
qui correspond au déterminant ~ 6, en y remplaçant x par - + S etfai* 

sant disparaître sjx par l'élévation au carré. On trouve ainsi l'expression 

X®— 301960x^-4- 355o49aa:*H- 1979781117680:'+ i3oi76o8ar* 
-f- 197978a 17680:'-+- 35504911 J:^'— 301960x4- 1; 

ce qui conduit au résultat déjà donné, et qu'il eût été bien difficile, 
comme on voit, de tirer algébriquement de l'équation modulaire. Nous 
allons indiquer, avant de passer à d'autres recherches, un moyen de le 
vérifier. 

» XIII. En désignant par D le produit des carrés des différences des 
racines de l'équation modulaire 0((;, w) = o de degré w -t- i, lorsqu'on 
suppose n un nombre premier, faisons pour un instant 



(£) 



=\li-'f^i- 



Cette expression sera non*seulement rationnelle et entière en w, puisque D 
est un carré parfait, mais les coefficients des diverses puissances de u seront 
eux-mêmes des nombres entiers. Or, en remplaçant ces puissances par leurs 
expressions sous forme de séries infinies en fonction de ç = e*'^", on par- 
vient à un résultat dont la valeur, par rapport au module premier fi, s'ob- 
tient comme il suit. 

» Faisons . • 

= I — 7+ 2iy* — 39' + 49* — 69*^ -h ..., 
et par conséquent 

« = ?(«) = Va Vç/Cî) 

on aura cette congruence 






dans laquelle le coefficient de la puissance la moins élevée de 9 a été con- 
H. 9 



(58) 

servée sans addition ni suppression de multiples de n^ ce qui permet de 
déterminer le facteur numérique qui doit être joint aux divers polynômes 
en u, que maintenant nous connaissons dans les cas de ra = 3, 5, 7, 11, a6n 
d'obtenir précisément la valeur de (D. Ce facteur, comme on voit, est tou- 
jours une puissance de 2 ; ainsi dans le cas de w = 1 1 , on aura 

(D = a»«tt«(i-w'^)^(i6-3itt«4- i6w'«) (i- 301960 a» -+-.•. )• 

On pourrait aussi présenter le second membre de la congruence précédente 
sous cette autre forme 



n'— 1 rt—i 



* (L^)'[»(»)-(l)f("'")} 



mais c'est la première qu'il convient d'employer pour véri6er, comme nous 
l'avons annoncé, le discriminant de l'équation modulaire du la* degré. 
Je remarque à cet effet que le polynôme i — 301960^^ -\- 3556492 w** -f- etc. 
se réduit suivant le module 1 1 à cette expression simple 



e4 



I -f- a* — «'* — m" — u^^ H- w** -h tt 

et qu'on trouvera par suite 

(D=M« ( I -I- 3 tt» ~ 3 1^^* - 3 w*2 H- «*° H- ) mod 1 1 . 

A Maintenant si l'on met à la place des diverses puissances de u leurs 
développements en fonctions de ^, il viendra 

Or, c'est précisément le résultat auquel conduit la congruence, en faisant 
les développements indiqués, d'où résulte la vérification que nous désirions 
obtenir. 

» XIV. C'est à ce point que je me suis arrêté jusqu'ici dans l'étude des 
équations modulaires, et il ne me reste plus, en considérant en particulier 
celles du sixième, du huitième et du douzième degré, qu'à donner la mé- 
thode que j'ai suivie pour en déduire des réduites d'un degré moindre d'une 
uni^. Galois, ainsi que je Tai déjà dit au commencement de ces recher- 
ches, a le premier découvert le fait si remarquable de cette réduction, au 



( 59 ) 

double point de vue de la théorie des fondions elliptiques et de l'algèbre, 
et voici, dans ses idées, le théorème qui sert de principe fondamental. 

» Remarquons préalablement que les racines de l'équation modulaire 
sont représentées par 

i; = w" (sin coam ip sin coam 4p- • • sin coam(/z — i)jo), 

en faisant 



P = 



n 



OÙ m et mf sont deux nambres entiers qu'on peut multiplier par un même 
facteur sans changer la valeur de s^. Il en résulte que c'est uniquement le 

rapport — qui définit chaque racine, et comme les deux termes sont pris 

suivant le module «, il reçoit d'une part la valeur oo pour in^o, et de 
l'autre la série des n nombres entiers o, i, a,..., /i — i. On est donc con- 
duit naturellement, pour représenter les racines de l'équatipn modulaire, à 

la notation i^^, k désignant — et devant représenter les /i -H i valeurs oo , 

o, I, a,..., 72 — I. Cela posé, voici la proposition de Galois : 

» ToiUe Jonction ralionnelle non symétrique des racines i^f^ qui ne change pas 

en remplaçant les divers indices k par -7 — -y «, b, c^ d étant des nombres 

efUiers pris suivant le module n, et le déterminant ad — bc n'étant pas ^ o (*), 
sera exprimable en Jonction rationnelle de u (**}. 

» J'ajouterai la remarque que ce théorème subsiste en particularisant la 

substitution -7 ^j de manière que ad — bc soit résidu quadratique 



de w, pourvu qu'on s'adjoigne le radical V.(— i) * n. Tel est, par exemple, 
le produit des différences des racines II ((^* — V^/), qui change de signe ou 

se reproduit exactement, loi%qu'en remplaçant k par -7 ^^ ad^ bc est 



(*) M. Serrét a fait des substitutions de cette forme l'objet de ses recherches dans plusieurs 
articles publiés dans les Comptes rendusy t. XLVIIIy séances des 10, 1 7 et 24 janvier i SSg. 

,**) Une démonstration de c« théorème important a été donoée par le P. Joubert dans 
un travail que j*ai déjà cité (p. 12). 

9- 






••^ 



s 



• ^.« 




(60) 

non résidu ou résidu quadratique de n, et qui s'exprime, comme on l'a vu 
§ XIII par une fonction rationnelle de u à coefficients entiers, mais affectée 

/" — îZr 

du facteur V (— i) ^ n. En effet, nommant F et F' les deux valeurs que 
peut prendre une fonction rationnelle des racines invariable par les substi- 
tutions où ad — bc est résidu, les deux expressions F + F', "^^ — r reste- 
ront invariables pour la totalité des substitutions, et s'exprimeront ration- 
nellement en w, d'après la proposition de Galôis; il en résulte que F et F' 
s'exprimeront elles-mêmes sous la forme annoncée. 

» Ce point essentiel établi, la question de l'abaissement des équations 
modulaires à un degré moindre d'une unité dépend d'une étude plus appro- 
fondie des substitutions -7 — ^5 et dont quelques traces seulement sub- 
sistent dans ce qui nous a été conservé des travaux de Galois. C'eât en 
suivant la voie qu'elles indiquent, que M. Betti a retrouvé l'importante pro- 
position relative aux équations du sixième, du huitième et du douzième 
degré, et l'extrait suivant d'une Lettre que m'a fait l'honneur de m'adresser 
ce savant géomètre montrera comment de cette manière âe présentent les 
résultats auxquels de mon côté je parvenais par une méthode toute diffé- 
rente : 

« Pise, a4 mars 1869. - 

» Dans un Mémoire Sopra C abassamento deir equazioni modulariy publié 
» en 1 853 dans les Annali di Torlolmi, j'ai fait l'élude des substitutions 

* (0"7 — ^' pour démontrer la possibilité de l'abaissement des équations 

i> modulaires, et j'ai obtenu les résultats que vous me communiquez dans 
» votre Lettre. 

o Voici pour le module premier n = 4 /? + 3 'es expressions que j*ai trou- 
M vées alors pour la décomposition en n groupes du groupe dont toutes les 
» substitutions sont données par la forme ( i ) où ad — bc est résidu de n. 

» Si g' est u ne racine primitive de «, jouissani de cette propriété, que g — i 
» étant résidu de/2, les puissancesimpaires <n— a deg vérifient lacongruence 

[g"^-^' — g(ff -+■ 0^-+- ^][ë^^^ — (&-*" 0^+ ï] = o mod/i 
» (ce qui n'arrive que pour /i = 7? 1 1 ), on aura, si l'on fait 



'^ 



(6i ) 
» un groupe [k, 6 fk)] de (^"^ ^^J^"" '^ substitutions de la forme (0 telles, 

» qu'en faisant sur ce groupe les substitutions (A:, A: -f î), on obtient n grou- 
» pes, dont l'ensemble est le groupe proposé. 

» Or si « = 7 on a deux racines primitives g = 3, g = 5, 5 — i est résidu 
» de 7 et les deux puissances impaires de 5 inférieures à 5, c'est-à-dire 5, 
» 5* vérifient la congruence 

(a:r" H- nic-h i) (4^:* -f-or-f- i)^o mod 7. 

» Donc, lorsque n = 7, on a deux systèmes de valeurs pour 6 (A), à 
» savoir: 

» en prenant g = 3, et : 

» en prenant g = 5, a et 6 désignant des résidus de 7. 

» Si 71 = 1 1 , on a quatre racines primitives : a, 6, 7, 8 ; 2 — 1 est résidu 
» de f I et les puissances de a^ impaires et inférieures à 9, vérifient la con- 
» gruence 

{^.x^ — 6x -h i) (4-3^* — 3a? 4- 1)^0 mod 1 1. 

» De même, 6 — 1 est résidu de 1 1 et les puissances de 6 impaires et infé- 
» rieures à 9 vérifient la congruence 

(3a:* -f- aor 4- î){3x^ -+• ^x-h 1)^0 mod 1 1. 

» Or si l'on prend g = ^j a et b résidus de 1 1^ on aura 



^W==«T3rr' -^nzTÂ' ^*^ 



— a 

2b' —^ "^' 



» et si Ion prend g = 6 , 

cv / / \ ^ — &b k — b , — a 

>> Les racines primitives 7 et 8 ne jouissent pas de la propriété de rendre 
» g — I résidu de 1 1, et la congruence lorsqu'on y fait g = 7, 8 n'est pas 
H satisfaite par les puissances de 7 et 8 impaires et inférieures à 9. 



^, 



^ 






• *•« 




(62 ) 

») Les substitutions 6 (Aj, 9- (Xr) jouisseot de la propriété d'être à lettres 
» conjointes, c'est-à-dire qu'en divisant les lettres en systèmes de deux let- 
M très chacune de la manière suivante : 



if 

o 



» toute substitution (>f), S* (A), on échange entre elles les lettres d'unsys- 
» téme, on change un système dans un autre. 

» Dans le cas den= 5 j'avais obtenu des résultats semblables aux pré- 
»» cédents et formé un groupe de douze permutations en considérant les 
« trois substitutions : 



k 4- 1 



« et celles qu'on en déduit en les composant entre elles » 

» XV. C'est sous un point de vue bien différent que je vais maintenant 
traiter les mêmes questions. Ainsi laissant de côté toute considération rela- 
tive aux décompositions de groupes, je définis à priori, pour 72 = 5, 7, fi, 
les racines z des équations réduites du cinquième, du septième et du on- 
zième degré, de cette manière, savoir : 

les indices i devant être pris respectivement suivant le module n. De la 
sorte on obtient trois systèmes de tî fonctions rationnelles des racines ç^, et 
je vérifie que les quantités qu'ils comprennent ne font que s'échanger entre 
elles lorsqu'on fait respectivement ces substitutions : 



71=5 



n = 



71 = I I 



C) 



Il en résulte, par des compositions successives, que ces systèmes demeurent 
invariables pour les substitutions (^ )' o\x a est un résidu quadratique 
quelconque de n. Maintenant il est visible qu'ils ne changent pas rK>n plus 



m 



( 63 ) 

lorsqu'on fait la siibstitiUion y^ | -, et si Ton vérifie encore qu'il en est de 

même à Tégard de celle-ci / j» on arrivera à cette conclusion qu'ils 

demeurent invariables pour toutes les substitutions où Ton met, au lieu 

de A:, — — -9 ad— bc étant résidu de 72. En effet, cette expression, dans 

toute sa généralité, s'obtient en composant entre elles celles que nous 
venons de considérer. Le théorème du § XIV suffit donc pour nous 
assufer que les équations réduites en z auront potir coefficients des fonc- 
tions rationnelles de u^ où ne figureront d'irrationnelles, suivant les cas, 

que les radicajiix ^5, V^ 7? V"^ * * • 

» Si Ton cherche maintenant les substitutions spéciales I ^ 1 qui 

laisseront invariable une seule des racines considérée isolément, Zq par 
exemple, on trouvera aisément ces résultats, où a et & désignent des résidus 
quadratiques de n, savoir : 

e,iv 7 — a k — y.b k -^ b 

{k)~ak, —, rt-j^TT» -"/— ^- 

• Ce sont les expressions auxquelles M. Betti est arrivé par une autre voie, et 
qui forment en général substitutions conjuguées, de sorte que toutes 

les quantités t où ad^ bc est résidu quadratique de n, peuvent être 

ainsi représentées : 

/étant un nombre entier pris suivant le module a/. 

» Enfin si l'on désigne par z^^c^ ce que devient z^ lorsqu'on effectue sur 
les racines s^ les substitutions que nous avons considérées, on trouvera 
pour : 

71=5 f{i)^ai -h b^ {ai-hby-i-Cf 

n = 'j (p (i) ^ à/ -h i ^ — (rt/ -+- 6)' — 2 {ai -h by -+- c, 

71 fis 1 1 (p (1) ^ m -h b^ {ai -hb)* -{-'i {ai 4- by -t- c^ 



^ 



(64) 
6 et c étant des nombres entiers quelconques pris suivant le module /t, et 

a étant résidu quadratique, ce qui représente en général ^ ^ ""'^ substi- 
tutions distinctes. 

» Les équations du septième et du onzième degré présentant cette pro- 
priété que les fonctions non symétriques de leurs racines invariables par les 
substitutions ainsi définies ont une valeur rationnelle, constituent un ordre 
spécial d'irrationnalité qui les distingue nettement des équations les plus 
générales de ces degrés. Ce sont, suivant l'expression de M. Kronecker, des 
équations douées d'affectionSy et qu'il sera sans doute possible de ramener 
analytiquement à celles dont la théorie des fonctions analytiques a donné 
la première notion. Mais laissant de côté les belles et difficiles questions 
auxquelles conduit ce sujet, et que M. Kronecker a le premier abordées, je 

me bornerai à faire voir que }/' | représente bien, en attribuant à la fonc- 
tion ff toutes les valeurs, un système de substitutions conjuguées. Posons 
en effet pour un instant 

de sorte qu'on ait pour w = 7 

<p{i)^ai-i- 6^/ (m -4- b) -+- c, 

on vérifie sans peine que 

/ 

I 

X [/('■)] = '■ ] mod7, 

X [«X (0 + *] = aai*x (»■ ^- À) + <=o»** 

a étant supposé résidu de 7. Et faisant de même pour n = 1 1 

X(0si«+3t*, 
on aura 

«x(')=x («*'■) J 

X[X(0] = ' mod II, 

X [«X (0 + f>] = 9«**X (*■ -+- ^) + <^o"s' ) 

a étant résidu de 1 1 . 

> Ainsi les fonctions ;((<7{ + 6), comme les expressions plus simples ^ii 4-. 6, 



(65) 
se reproduisent par la composition. De là résulte pour les nombres pre- 

miers /î=7, ii, l'existence de fonctions de w lettres ayant . ' / , " ' v i 

c'est-à-dire 3o et 6o48o valeurs. Toutes deux ont été rencontrées par 
M. Kronecker, qui a le premier publié {Comptes rendus des séances de CAca- 
mie de Berlin, aa avril i858) le cas des fonctions de sept lettres, et fait à 
l'égard de la représentation analytique des substitutions ici employée (*) une 
observation pleine de justesse, montrant de quelle manière deux expres- 
sions algébriquement différentes peuvent cependant ne représenter que la 
même substitution, et par là réduisant à un seul et même type deux systèmes 
que j'avais d'abord considérés comme distincts. [Vojrez les Annali di 
Matematica, aLunée iSSg, n^ i et 2.) 

)> XVI. Le calcul des équations réduites en z pour les trois valeurs de n 
que nous avons à considérer repose sur deux remarques : que l'on peut y 

remplacer d'une part u par tu et z par s ^ z^ e étant une racine huitième 

n* — ï «-ht 



de l'unité; et de l'autre, ù par - et js par -^ (— 1) ^ ^ • La pre- 

mière, jointe à cette observation que le développement des racines en 

nH-t 

fonction de q commence par \v^ y Ç"/ > prouve que les coefficients 
sont des polynômes en u^ contenant en facteur une certaine puissance 
de u ; ainsi ces équations sont composées de termes de cette forme : 

z"-'. u'» {a -+- bu^-h cu^^-h ..'-*- hu^f'), 
et l'exposant a» se détermine en prenant la valeur positive de v — (mod 8), 

n I 1 

qui est immédiatement supérieure à la quantité v - — '- La seconde re- 
marque montre que les polynômes a -h bu^-^- cw'*-4- . . . sont réciproques, 
mais à cet égard en distinguant des deux autres le cas de n = ii, à cause 

n* — I n-H I 

du facteur (—1) ^ ^ alors égal à ^i. De là résulte en effet que les 



-K> 



(*) 1/68 expressions dans le cas des substitutions de cinq lettres, savoir : z/, z^i^^ ^{a(+b)* 
ont été données avant moi par M. Betti, dans le tome II des Annales de Tortolini, P* '7- 
Pour le cas de sept lettres, voyez les Annali di Matematica, année iSSg, n"* i. 

fl. 10 



(66) 

polynômes facteurs des puissances paires de z ont leurs coefficients équt- 
distants des extrêmes égaux et de signes contraires, tandis que ceux qui 
affectent les puissances impaires ont, comme pour /i = 5) 7, leurs coeffi- 
cients égaux et de même signé. On en tire d'ailleurs, dans tous les cas, la 
valeur de p^ sous cette forme : 



(n -hi)v — a 



a 



p.= g 1 

et si Ton observe enfin, ce qui est très-facile à établir, que la quantité 1 -- u* 
entre comme facteur dans le polynôme a+ bu^ +• c//'^h- ...-+- A/A" avec 

un exposant (*) dont la limite inférieure est — 1 n + f - j , on aura réuni 

tout ce qui est nécessaire pour pouvoir écrire à priori et sans calcul les 
équations réduites sous les formes suivantes, où D représente toujours le 
discriminant, savoir : 

» 1°. /i = 5. 

2» -h zau\\ - u^y — v'D = o. 

» Le terme en z* n'existe pas, parce qu'on obtient pour p, une valeur 
négative; les termes en 2» et jz* disparaissent parce que les coefficients doi- 
vent respectivement contenir en facteur 1 — /^% (i — tt')^ ce qui est en con- 
tradiclion avec les valeurs p^ = o, p, = 1 . 

« On a à remarquer cette circonstance importante que le coefficient a' 
est nul, et qui tient à ce que dans le développement des racines suivant les 
puissances de \/9 = (|, savoir: 



z 



V^— 7 — I 



= 4v - 7 M »+ ^^ — <î' -f- q* -f- . . . h 



r ) Cet exposant est impair lorque « = i , dans les coefficients des puissances paires de « ; 
mais, ce cas excepté, il est toujours pair. 



+ Z*/i« (l -+- M»)»{6 + £'«•+ «"«'•+ £"l<"+ £'«"+ £«' y 



( 67 ) 

la quantité entre parenthèses ne contient pas la première puissance de 4. 
De là sans doute résulte qu'on a ainsi le type analytique le plus simple des 
équations du septième degré résoluble par les fonctions elliptiques. 

«3". « = 1 1 . 

» En désignant comme précédemment par a, /S, etc., des constantes 
numériques, on a cette équation : 

r.«« -H 2"»«H» (i - u*) ■+■ z*o!.'n* (i - «•)»+ z*a"MVi - ?«")» 

+ z'u* (i - «•)»(/3 -h |3'«*H- jB//") + z««««(i - «• )» (7 -I- 7'«*"-f- 7«'«) 

+ z»K* (I — «•)* (»3 + >j'«»+ ï3"«'«+ ï3"'m"+ ï3"«"-f- n'u^^-h >î «'*) 

-h z'w'» (i - u*Y (Ç -•- ?'«•+ ?"«"-+■ ?"""-<- Ç"""-l- ?'"*"+ Çu**) 

-H ztt* (1 - «•)*(e -I- e'«»+ ô"««*-)- ô""//" -4- ô'w" + e'/<*»-»- ô«*') - vD=o. 

Ces constantes pourront être déterminées en développant les coefficients 
suivant les puissances de qy et substituant pour z le développement corres- 
pondant suivant la puissance de y/q. Le calcul assez long auquel on eât 
conduit n'est nullement impraticable ; je n'ai pas cru cependant devoir m'y 
arrêter, car le principal intérêt qu'on peut attacher au résultat concerne sur- 
tout l'étude des équations du onzième degré résoluble par les fonctions ellip- 
tiques. J'indique encore une fois, en terminant ici mes recherches, ces belles 
questions qui offriront une des plus importantes applications de la théorie 
fondée par Abel et Jacobi. Mais c'est surtout l'œuvre propre de l'immortel 
auteur des Fundamenta d'avoir reconnu ces rapports si remarquables des 
nouvelles transcendantes avec l'algèbre et les propriétés des nombres. 
Entre tant de beaux résultats dus à son génie, et qui ont ouvert des voies 
fécondes à la science de nos jours, je ne puis m'empêcher de rappeler dans 
les Notices des premiers volumes du Journal de Crelle les énoncés relatifs 
aux propriétés des équations entre le multiplicateur M et le module k. C'est 
là en effet que M. Kronecker a trouvé le principe de la belle méthode 
pour la résolution de l'équation du cinquième degré qui m'a été com- 
muniquée dans une Lettre publiée au tome XLVI, p. ii5o, des Comptes 
renduSj.et l'on pourra voir dans un travail très-important de M. Brioschi sur 



(68) 

ce sujet (*} comment cette méthode résulte des relations singulières qu'a 
données Jacobi entre les racines de ces équations dans le cas du sixième 
degré. Les travaux de ces deux savants géomètres ont ainsi ouvert une voie 
plus facile pour arriver à la résolution de l'équation générale du cinquième 
degré que celle que j'avais suivie en prenant pour point de départ la réduc- 
tion de Jerrard à la forme jcr*— a: — a = o, et c'est en suivant cette nouvelle 
direction quje j'espère plus tard pouvoir y revenir pour contribuer à en 
faire l'étude approfondie qu'elle demande. » 



{*) Sul metodo di Kronecker per la rizoluzione délie equazioni di quinto grado, dans 
les Actes de l'Institut Lombard, vol. P'. 



ERRATA. 

page 27, ligne i5, dh lieu de /•» — io/« -h 5+*=+/% lisez /'' — 10 <p/«-+- 5^»=4»/^. 
Page 37, ligne i3, au lieu de ^|j =\f)' ^^^* (|) = \7i') ' 



1 



Page 45, ligne i5, au lieu de x := — - H — > lisez a: = — | p. 

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Paris. — Impiiinerie de Mallet-Bachelier, 
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